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In der hier verwendeten Notation wird die zeitliche Entwicklung von F ∈F(M) durch Gleichung
(2.8) festgelegt.
{F, H} = dF
dt = ∂F
∂μ i
∂μ i
∂t = ∂F
∂μ i
J ij
δH
δμ j
(2.8)
Eine direkte Konsequenz der Schiefsymmetrie von J ist, dass H eine Erhaltungsgröße der Bewegung
ist (eqn.(2.8) mit F = H). Im Allgemeinen entspricht H der Gesamtenergie des Systems. Von allen
Erhaltungssätzen der klassischen Mechanik ist die Energieerhaltung wohl das bekannteste Beispiel.
Wenn das Hamiltonfunktional H sich entlang der Trajektorien Hamiltonscher Dynamik zeitlich nicht
ändert, dann nennt man das System von Differentialgleichungen (2.8) auch autonom. Kanonische
Koordinatentransformationen Ξ, welche die kanonischen dynamischen Gleichungen (2.3) in autonome
Gleichungen überführen sind von großer Bedeutung für die Hamilton-Jacobi Theorie.
Wenn das Funktional H unter Translation in x-Richtung invariant ist oder eine andere kontinuierliche
Symmetrie besitzt, dann existiert ein zeitinvariantes Funktional M, das die Gleichung (2.9b) des
Noether-Theorems erfüllt.
H(μ(x +Δ))=H(μ(x)) ,
J ij
δM
δμ j
= −(μ i ) x
(2.9)
Gleichung (2.9) ist das Produkt der Schiefsymmetrie von J ij und der Tatsache, dass die Funktionalableitung
von H in Richtung einer kontinuierlichen Symmetrie verschwindet. Die Erhaltung
der Energie folgt aus der Zeitinvarianz von H (x = t). Wenn x dahingegen eine räumliche Koordinate
ist, dann entspricht M der zur Symmetrie gehörenden Impulsinvarianten. Ein weiteres
Beispiel ist die adiabatische Erhaltung der Größe Wellenwirkung I k . Wenn das Hamiltonfunktional
H(ϑ k +2πê i ,I k ,t)=H(ϑ k ,I k ,t)mitê i ,demi-ten Basisvektor, invariant ist, unter Änderung des
Phasenwinkels ϑ k , dann ist die Wellenwirkung I k eine Erhaltungsgröße. Dafür muss aber zumindest
gewährleistet sein, dass H sich über eine Periode hinweg nicht ändert. Aus diesem Grund bezeichnet
man die Größe Wellenwirkung I k oft auch als adiabatische Invariante.
0= dH
dϑ k = 1 dH
σ k dt + δH ∂μ i
δμ i ∂ϑ k = ∂I k
∂t + I k ∂σ k
σ k ∂t + J ij
−1 ∂μ i
∂t J δI k
ij = dI k
(2.10)
δμ i dt
Bei der Herleitung dieser Gleichung wurde vorausgesetzt, dass die intrinsische Frequenz σ k explizit
zeitunabhängig ist ∂σ k /∂t =0.
Die Struktur der Hamiltonschen Gleichungen wird im Wesentlichen durch die mathematischen Eigenschaften
des symplektischen Tensors J ij bestimmt. Eine grundsätzliche Unterscheidung erfolgt zwischen
kanonischen Systemen mit einem nichtsingulären Tensor J ij und singulären nicht-kanonischen
Systemen. Wenn J ij singulär ist, die Determinante von J ij also verschwindet, dann besitzt das System
zusätzliche Symmetrien. In diesem Fall bestimmen Casimirfunktionen C die Topologie der
Mannigfaltigkeit M, auf der sich die Hamiltonsche Dynamik entwickelt. In der hier verwendeten
Notation sind die Funktionen C Lösungen der Gleichung (2.11).
J ij
δC
δμ j
= 0 (2.11)
Die Gleichung (2.11) entspricht der Version des Noether-Theorems (2.9) mit (μ i ) x
=0(u i homogen).
Zusätzlich zu den durch das Noether-Theorem gegebenen Erhaltungsgrößen (μ i ) x ≠ 0 existieren also
noch Casimir Invarianten C ∈F(M) der Bewegung. Diese Funktionen sind Erste Integrale des
Hamiltonschen Flusses ϕ t im Phasenraum. Aus Gleichung (2.11) und (2.8) folgt, dass die Poisson
Klammer ({C, G} =0)für zwei beliebige Funktionen C, G ∈F(M) verschwindet, wenn C eine
Casimirfunktion ist. Da diese Bedingung natürlich auch für alle Hamiltonfunktionen H erfüllt sein
muss {C, H} = 0, ist die Funktion C selbst eine Erhaltungsgröße.