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Kapitel 3
Die Nicht-Kanonische Theorie
In dieser Arbeit werden Ergebnisse vorgestellt, die auf der Anwendung der von Arnold in [Arn65a]
und [An66b] vorgestelten Methode auf Geohydrodynamische Probleme basieren. Diese, mittlerweile
als Energie-Casimir -oder auch Arnold-Methode bekannte Technik, gestattet es, die Stabilität
eines Hydrodynamischen Flusses zu untersuchen, ohne die entsprechenden dynamischen Gleichungen
vorher linearisieren zu müssen. Die Möglichkeit ein von den dynamischen Größen abhängiges
Phasenraum-Funktional H C zu definieren, das eine Erhaltungsgröße ist und den Stationären Fluss
als Extremum aufweist führt zur Formulierung eines Kriteriums für formale Stabilität. Der Fluss
ist in dem Fall stabil, wo das Extremum entweder ein echtes Maximum oder aber ein echtes Minimum
ist, nicht aber ein Sattelpunkt. Dahinter steckt die geometrische Veranschaulichung, dass bei
einem vorzeichendefiniten Extremum jeder stationäre Punkt im Phasenraum von einem Satz in sich
geschlossener und ineinender, quasi wie Zwiebelschalen, eingebetteter Unterräume umgeben ist, auf
denen ein zum Zeitpunkt t = t 0 gestörtes System für alle Zeiten verharrt. Jeder dieser k-Unterräume
wird von der zu ihm gehörenden Wirkungsvariable I k charakterisiert.
Von Arnold [Arn65a] wurde der Spezialfall eines homogenen, zweidimensionalen Flusses in einem inkompressiblen
Fluid (siehe Kapitel 4.1) untersucht. Die Existenz des Funktionals H C folgt in diesem
Fall aus der Invarianz der Größen Vorticity und Energie. Ein weiterer Spezialfall, für den die Vorticity
eine Erhaltungsgröße darstellt, ist der unidirektionale Fluss. Da der Geschwindigkeits-Gradient
∇v stets senkrecht auf dem Vorticity-Vektor ω steht, hat die Vektorgleichung dω/dt = q ·∇v =0
den Charakter einer Erhaltungsgleichung (Barokline-und Reibungseffekte werden vernachlässigt).
Im ungleich komplizierteren Fall einer dreidimensionalen Formulierung der Hydrodynamik ist die
rechte Seite von Null verschieden und die Rotation des Geschwindigkeitsfeldes v keine Invariante
mehr (siehe z.B.[Ped87] Kap.2.). Da aber mit der Abbildung materieller (Lagrangian) Koordinaten
a =(a, b, c) inräumliche Felder (Eulersche Beschreibung) x =(x, y, z) stets Symmetrien gegenüber
particle relabellings“ verbunden sind, wird es immer möglich sein, neben der Energie H (Zeit-
”
Symmetrie) weitere Invarianten C der Bewegung zu finden. Die potentielle Vorticity q als Erhaltungsgröße
ist mit relabelings“ verknüpft, welche den Jacobi-Operator J ” x (a) =∂(a, b, c)/∂(x, y, z)
unbeeinflusst lassen. Die Position eines Teilchens x i (τ) = ∫ x(a,τ)δ(a − a i ) da wird durch die Label-
Koordinaten a i und die Zeit τ vollständig festgelegt. Im Spezialfall eines homogenen, flachen, mit
konstanter Winkelgeschwindigkeit f/2 um die vertikale ẑ-Achse rotierenden Fluid’s (Kap.4.2) führt
die Zuordnung da db = d(Masse)/ρ, wobeiρ die konstante Dichte des Fluids ist, nach Einführen
der lokalen Wassertiefe h(x) zu der Beziehung da db = h(x) dx dy. Das Funktional H C setzt sich
in diesem Fall aus dem Hamiltonian H und der Casimirfunktion C = ∫ D h C(q) dx2 zusammen,
wobei die Potentielle Vorticity q die Form q =(ẑ ·∇×v + f)/h annimmt. Dabei ist C(q) eine
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