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4.1. ZWEIDIMENSIONALES, HOMOGENES UND INKOMPRESSIBLES FLUID 33
−δ∇ 2 ψδψ= δω δψ folgt. Die Bewegungsgleichung (4.1) (setze ε =1,δψ ≡ δ (1) ψ)für die Stokesdrift
〈 δ (2) ω 〉 (mit ∂ω e /∂T = −ad (δH/δω e ) ∗ ω e )istgleich
∂ω sd
∂T
=
=:
1
2πV
1
2πV
∫ 2π
0
∫ 2π
0
∫
∫
s(ζ 2 )
D s(ζ 1 )
∫
∫
s(ζ 2 )
D s(ζ 1 )
{
∗ ) } ∗
ad
(˜L δ ψ) (1) δ (1) ω + ad
(˜L δ (2) ψ ωe
dz d 2 x dθ
{
}
div S + A dz d 2 x dθ . (4.14)
Wenden wir uns jetzt der rechten Seite von Gleichung (4.14) zu und benutzen einen ebenen Wellen
Ansatz (ε = 1) zur Beschreibung der Orbitalbewegung des Seegangs δψ = a(x,z) exp iθ(k,x,t)+c.c.,
θ =(k · x − ωt). Da wir nur an den phasengemittelten Eigenschaften der Strömung interessiert sind
brauchen die linearisierten Anteile der Ausgangsgleichung (3.3) in Gleichung (4.14) nicht berücksichtigt
werden. Ungerade Potenzen der Phasenfunktionen sin(θ) und cos(θ) verschwinden nach
Mittelung. Es können auch die Taylor-Glieder höherer Ordnung in ε vernachlässigt werden, da ihr
einziger nicht verschwindender Beitrag aus Termen der Ordnung O(ε 4 ) besteht. Vorerst sind wir
nur an den Termen interessiert, die in niedrigster, nichtlinearer, also quadratischer Ordnung (O(ε 2 ))
auftreten.
Die auf der rechten Seite von Gleichung (4.14) nach Integration und Mittelung noch bestehen bleibenden
Terme bestimmen die Dynamik der mittleren Strömung. Nach partieller Integration 2 von
ad(˜Lδψ) ∗ ω lässt sich aus Gleichung (4.14) ein Ausdruck für die Lie-Poisson Klammer des O(ε 2 )-
Anteils der Störungsentwicklung herleiten. Dazu wird in Gleichung (4.14) das Funktional F als
Dummy-Variable eingeführt und später gleich δ (1) ω gesetzt.
ad δ(F )
δ(δ (1) ω)
) ∗δ (˜hC δ (1) ω
(1) ω =
=
〈 [ ]〉
δ(F )
δ (1) ω,
δ(δ (1) ω) , ˜h C δ (1) ω
〈 δ(F )
(˜hC
δ(δ (1) ω) ,∂ δ (1) ω, δ (1) ω
Aufgrund der Eigenschaften der Jacobi-Lie Klammer ist gegeben, dass
) 〉 (4.15)
[a, b] = ∂ (a, b) = ∂ x a∂ y b − ∂ y a∂ x b (4.16)
= ∂ y (∂ x ab) − ∂ x (∂ y ab)=ẑ ·∇×([∇a]b) ist, (4.17)
wobei ẑ der Einheitsvektor in Richtung der Vertikalen ist. Nach Einsetzen der Funktionalableitung
h c δ (1) ω =(δ 2 H C /δω 2 · δω)| δω=δ (1) ω
˜h c δ (1) ω = δ (1) ψ − v (
e ∂
2
)
∂ỹ 2v e ∂ỹ 2 − k2 δ (1) ψ
in Gleichung (4.15) beziehungsweise (4.14), erhält man für den Divergenz-Term des Tensors S den
folgenden Ausdruck (δ (1) ω = −[∂ỹ 2 − k2 ]δ (1) ψ und ˜∇ =(ik, ∂ỹ))
[
div S(δ (1) ω) = −ẑ · ∇× δ (1) ω × δ (1) v + ∇ |δ(1) v| 2
2
]
+ v e
∂ỹ 2v ∇ δ(1) ω 2
e 2
. (4.18)
∫
2 Unter Ausnutzung der Beziehung (4.17) erhält man nach partieller Integration der rechten Seite von (4.14)
∂ (⊙, 2hCδω) D ωdx2 = ∫ ẑ ·∇×(∇ [2hCδω] ⊙ ω) D dx2 + ∫ ⊙∂(2hCδω, D ω)x2 . Dabei kennzeichnet ⊙ den offenen Eingang
der Jacobi-Lie Klammer. Nach Anwenden des Stokesschen Integralsatzes fällt der erste Term weg, da der Gradient
von h Cδ (1) ω stets senkrecht auf dem Normalenvektor der Randkurve ∂D steht.