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4.2. DER RADIATIONSTRESS EINES FLACHWASSER-SYSTEMS 37
Aus der Stabilitätsbedingung (4.34)(3) und (4.35) lässt sich ein Ausdruck für die zweifache Ableitung
von C nach q herleiten.
C ′′ (q e )= K′ (q e )
q e
= m e
q e
( ∂ωe
∂v e
) −1
− gh e
q 2 e
(4.36)
Die zweite Variation des Energiefunktionals H C liefert nach Einsetzen der Beziehung (4.33) und
(4.36) den folgenden Ausdruck für δ 2 H C (m,h)| (me ,h e).
∫ { | δm |
δ 2 2
H C (m e ,h e ) =
− 2 m [
e
| me | 2 ] }
h e h 2 · δm δh +
e
h 3 + g δh 2 d 2 x
e
D
∫
K ′ (q e )
+
h e δq 2 d 2 x (4.37)
q e
D
Durch Einsetzen des Energiefunktionals (4.37) in die Poisson-Klammer (4.42) erhält man einen
Satz partieller Differentialgleichungen (4.43), (4.44) für das in Kapitel (4) betrachtete Anfangswertproblem.
Die zu E = a (1) (a (1) ) ∗ proportionalen Anteile (δm| E = δ (1) hδ (1) v, δh| E )derStörungs-
Entwicklung des dynamischen Vektors (m,h)umdenstationären Punkt (m e ,h e ) herum sind Lösungen
dieser Gleichungen. In (4.42) kennzeichnen L δm und L δh die Funktionalableitung von δ 2 H C nach
δh 5 bzw. δm
L δm (δ 2 H C ):= 1 δ(δ 2 H C )
2 δ(δm)
L δh (δ 2 H C ):= 1 δ(δ 2 H C )
2 δ(δh)
= δm h e
− m e
h 2 e
δh + K ′ δq δ(δω)
δq δ(δω)
= δv + K′
q e h e δ(δv) q e h e δ(δv)
(4.38)
= gδh −K ′ δq . (4.39)
In Gleichung (4.38) wurde die Identität (4.40) eingesetzt, die sich aus der Definition der Variablen
m = hv, δm = h e δv + v e δh, ergibt.
δm
h e
− m e
δh = δv . (4.40)
h2 Für das in Kapitel [4.1] behandelte Beispiel eines ebenen Flusses mit parallelen Stromlinien v e =
v e (ỹ)ˇx und h e = konst. ist die potentielle Vorticity q e gleich q e = −∂ỹv e /h e und die Ableitung K ′
der Bernoulli-Funktion K ist gleich
K ′ = ∂K ∂v e
= v e − g ∂h e h e ∂ỹv e
= −v e
∂q e ∂q e ∂q e ∂ỹ 2v + g h e
= q e h 2 e
e q e
v e
∂ 2 ỹ v e
+ g h e
q e
. (4.41)
Die nichtlinearen Anteile des Flachwasser-Systems (4.28), (4.29) und (4.30) sind in niedrigster Ordnung
gleich (4.42), wenn nach Einsetzen von L(δu) in die rechte Seite der Gleichung (4.42) die
Dummy-Variable F (δu) =δ (1) u und δu = δ (1) u gesetzt werden. Wie auch im vorigen Abschnitt 4.1
wird die Lösung der linearisierten Ausgangsgleichungen (4.26), (4.27) als bekannt vorausgesetzt.
∂δ (2) u
∂T
(
1 ˜
∗
δ(δ
= ad 2 H C )
δ(F )
δ(δ (1) u)
2 δ(δu) ∣ δ
δu=δ u) (1) u + A (4.42)
∫ { [ (1) ( ) ( )
]
δ(F ) δ(F )
= δ (1) m · L δ (1) m (δ2 H C ) · ∇
δ(δ (1) m) − δ(δ (1) m) · ∇ L δ (1) m (δ2 H C ) +
D
[
+ δ (1) h L δ (1) m (δ2 H C ) · ∇ δ(F )
δ(δ (1) h) − δ(F )
]}
δ(δ (1) m) · ∇L δ (1) h (δ2 H C ) d 2 x + A
5 Bei der Ableitung L δh muss die Kettenregel beachtet werden da δm von δh abhängt.