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Kapitel 4
Der Radiationstress-Tensor
Die im Kapitel 3.2.2 hergeleitete Wellenwirkungsbilanz resultiert aus einer Linearisierung der nichtkanonischen
Hamiltonischen Gleichung. In der letztendlich gefundenen Erhaltungsgleichung (3.39)
bestimmen Propagation und Refraktion die Dynamik der linearen Seegangs-Lösung δ (1) u.EineVerlagerung
der Wellenenergie im Spektrum führt aufgrund der Invarianz der Größe Wellenwirkung zu
einem seegangsinduzierte Beitrag in den Bilanzgleichungen der mittleren Strömung u e +〈δu〉 (Kapitel
5.2). Der Divergenzterm des Radiationstress lässt sich in den vertikal integrierten und phasengemittelten
O(ε 2 ) - Bilanzgleichungen (3.25), (10.26) als zur Seegangsenergie E = a (1) (a (1) ) ∗ proportionaler
Anteil (4.1) identifizieren. Nach dem Zusammenfassen aller Gleichungen der Störungsentwicklung
und Separation der zu E proportionalen Anteile erhält man ein System dynamischer Gleichungen
(4.1) für den mittleren seegangsbehafteten Strömungs-Zustand 〈u〉 (Anhang A3: Kapitel 10.4). Bei
der Herleitung von (4.1) wurde die Bilanzgleichung des bisher nicht betrachteten Gleichgewichtszustandes
u e (3.3| u=ue ) zu der Bilanzgleichung der Stokesdrift addiert. Unter der Voraussetzung, dass
die Eulersche Strömung auf den räumlichen und zeitlichen Skalen des Seegangs stabil und stationär
ist, auf den Skalen der mittleren Strömung aber variabel ∂u e /∂T = −ad (δH/δu e ) ∗ u e ≠ 0, wird die
zeitliche Entwicklung der mittleren Strömung durch (4.1), (4.2) beschrieben.
Der zusätzliche Antrieb (Impetus), den die mittleren Zustandsvariablen aufgrund des Vorhandenseins
von Seegang erfahren, ist gleich der Divergenz des Radiationstress-Tensors S ij .Diehorizontalüber
das einfach zusammenhängende Gebiet D und vertikal über die Dicke der Schicht s(ζ 1 ) ≤ ˜z ≤ s(ζ 2 )
integrierten Bilanzgleichung sind gleich
1
V
∫
∫
s(ζ 2 )
D s(ζ 1 )
∇ Xj Ŝ ij = 1
2πV
{
∂[(ue ) i
+ 〈 δ (2) u i
〉
]
∫ 2π
0
∫
∂T
∫
s(ζ 2 )
D s(ζ 1 )
( ) }
δH
∗
+ ad u e
δu e
]
dz d 2 x = −∇ Xj
[Ŝij (X,T)
{
) ∗ ) } ∗
ad
(˜hC δ (1) u j δ (1) u i + ad
(˜hC δ (2) u j (ue ) i
. (4.1)
dz d 2 x dθ (4.2)
Der Tensor 1 S ij entspricht dem Integral der O(ε 2 )-TermederStörungsreihe (3.15) über das Volumen
einer Elementarzelle. Die Funktion s(ζ) legt zu jedem Zeitpunkt die Position der in ž-Richtung mit
der Wellenbewegung auf und ab bewegten Koordinatenfläche (˜x, ỹ, ˜z = s(ζ)) fest. ζ ist eine Funktion
der Tiefe und variiert linear zwischen ζ = −1 am Boden und ζ =0anderOberfläche. Es werden
1 Um die Elemente des Radiationstress-Tensors S ij zu kennzeichnen wird in Gleichung (4.1) und (4.2) die Komponentenschreibweise
verwendet.
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