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hergeleitet werden.
Lie-Poisson Systeme lassen Sphären in dem durch (M x ,M y ) definierten M-Raum unverändert
d||M|| 2 /dt = 0. Eine Verallgemeinerung dieser Objekte auf beliebige Lie-Algebren wird koadjungierter
Orbit genannt. Ein solcher Orbit ist eine Submannigfaltigkeit in g ∗ mit der Eigenschaft von
jedem Lie-Poisson System F ˙ = {F, H} unbeeinflusst zu bleiben. Wie sich herausstellt sind koadjungierte
Orbits O ebenfalls Poisson Mannigfaltigkeiten (P, {·, ·}). Das ist eine Mannigfaltigkeiten P
zusammen mit einer Poisson Klammer {F, H} für die Funktionale F, H : F(P ) → R. Wenn die Lie-
Gruppe endlich dimensional ist, dann ist die Dimension der koadjungierten Orbits geradzahlig und es
ist möglich eine symplektische Struktur ω ± auf O zu definieren ω ± (μ)(ξ g ∗(μ),η g ∗(μ)) = ±〈μ, [ξ,η]〉.
In dieser Gleichung ist μ ∈Ound ξ,η ∈ g. Die infinitesimalen Erzeugenden ξ g ∗, η g ∗ der koadjungierten
Wirkung sind durch ξ g ∗(μ) =−ad ∗ ξ μ und η g ∗(μ) =−ad∗ η μ gegeben. Hier ist ad∗ ξ μ die
zur Lie-Algebra Wirkung ad ξ (η) duale Wirkung. Sie lässt sich durch Differentiation der Identität
〈μ(t),η〉 nach t ∈ R am Zeitpunkt t = 0 herleiten, wobei μ(t) dieKurveμ(t) =Ad ∗ g(t)
μ in O
−1
ist. In dieser Gleichung bezeichnet Ad ∗ g(t)
μ die koadjungierte Wirkung des Lie-Gruppenelements g
−1
auf μ ∈O. Wenn eine Abbildung von P = T M nach g ∗ , dem Dualen der Lie-Algebra g, existiert
(M : P→g ∗ ) und die durch ξ ∈ g erzeugte infinitesimale Bewegung dem Hamiltonschen Vektorfeld
der skalaren Funktion M ξ (v m ):=M(v m ) · ξ entspricht
X M·ξ (v m )=ξ P (v m )= d dt∣ T m ϕ t (v m ), (t ∈ R,m ∈M,v m ∈P) , (2.15)
t=0
dann ist M die zur Wirkung der Lie-Gruppe G auf M gehörende Impuls-Abbildung (engl. momentum
map) und ϕ t ist der Fluss der infinitesimalen Erzeugenden ξ M (m). Beispiele für Impuls-
Abbildungen sind Drehimpuls und geradliniger“ Impuls für kontinuierliche Rotations- und Translations-Symmetrien
in T ∗ R 3 = R 3 × R 3 .Für das von uns betrachtete ”
Beispiel
∂ω
∂t = J δH
δω
mit J = −∂(ω, ·) und H(ψ) = 1 2
∫
D
|∇ψ| 2 d 2 x (2.16)
eines inkompressiblen (2-D) Fluids ist die auf das Kotangentenbündel gehobene R 3 -Wirkung auf
Elemente x n des R 3N (N Teilchen System) gleich Δ · (x n )=(x n + Δ) und der infinitesimale Generator
1 ist ξ R 3N (ω(x n )) = −(ω xi ξ,...,ω xi ξ)(N-mal). Für eine Abbildung M(ξ) istnachGleichung
(2.16) das Hamiltonschen Vektorfeld X M(ξ) durch X M(ξ) (ω) =−∂(ω, ∂M(ξ)/∂ω) gegeben,
wobei ∂(a, b) = a x b y − a y b x der (2-D) Jacobi-Operator ist. Es wird nun vorausgesetzt, dass eine
kontinuierliche Symmetrie in Richtung der x-Koordinate vorliegt und ω x ≠ 0 beziehungsweise
ω y = 0 ist. Der Vergleich X M(ξ) = ξ R 3N liefert dann für M(ξ) =M · ξ die folgende Gleichung
(∂M(ξ)/∂ω) y = ξ. Letztendlich erhält man nach Integration der Gleichung das folgende Ergebnis
M x (ξ)(ω) = ∫ ωy d 2 x · ξ, wasäquivalent zu Gleichung (2.14) ist. Auf die gleiche Weise kann für ein
y-symmetrisches Problem M y (ξ)(ω) =− ∫ ωx d 2 x hergeleitet werden. Eine mögliche Symmetrie in
Richtung der Winkel-Koordinaten Δ·(ϑ n )=(ϑ n +Δ) führt, nach Transformation von J = ∂(ω, ·) in
sphärische Koordinaten, zu einer Erhaltungsgleichung für den Drehimpuls M ϑ (ξ)(ω) = ∫ ωr 2 d 2 x.
Alle Impuls-Abbildungen sind stets bis auf additive Casimirfunktionen C gegeben, von denen die
Poisson-Mannigfaltigkeit ja unbeeinflusst bleibt. Solche durch die Lie-Poisson Klammer {C, ·} =0
gegebenen Funktionen C : g ∗ → R sind durch ihre Invarianz unter der koadjungierten Wirkung
der Lie-Gruppe G gekennzeichnet. Für ein beliebiges g ∈Gund μ ∈ g ∗ muss daher gegeben sein,
dass C(Ad g −1(μ)) = C(μ) ist. Nach Differentiation dieser Gleichung nach g in Richtung von ξ ∈ g
1 Der zur Wirkung von ξ ∈ g auf R 3N gehörende infinitesimale Generator ξ R 3N ist gleich der nach g ∈Gabgeleiteten
R-Wirkung in Richtung von ξ an der Identität. Nach Definition der exponentiellen Abbildung (exp : g →G)istfür
t ∈ R gegeben das ξ R 3N = − d [ω (Δ · dt (xn )) Δ=exp{tξ}
] t=0.