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3.1. STABILITÄTSANALYSE 19
Der Schritt von Gleichung (3.7) und (3.8) zu (3.9) und (3.10) beinhaltet den Übergang vom Hamiltonfunktional
H zu dem Funktional H C = H + C als zu variierende Größe. Die Erhaltungsgröße
C ist die Summe von Casimir Funktionen und anderen Invarianten der Bewegung. Das Funktional
H C = H + C, bestehend aus der Hamiltonfunktion und dem Funktional C, besitzt die Eigenschaft
für die Gleichgewichtslösung μ e ausgewertet, extremal zu werden δH C /δμ| μe =0.
Die beiden Gleichungen (3.9) und (3.10) bilden den Satz von Ausgangsgleichungen für die weitere
Störungsanalyse. Dazu werden sie nach den auftretenden Ordnungen in ε sortiert. Dabei zeigt Gleichung
(3.9) was vorausgesetzt worden ist. Die Gleichgewichtslösung μ e ist stationär. Die linearisierte
Dynamik ist Hamiltonisch bezüglich einer Poisson Klammer, die sich entsprechend Gleichung (3.10)
(erste Zeile, l =2)zu{G, H} 1 = 〈μ e , [δG/δμ, δH/δμ]〉 ergibt [Hol84]. Die Poisson Klammer erfüllt
die Jacobi-Identität. Im Unterschied zu (4.4) ist der Koeffizient μ e ∈ g ∗ konstant. Von Ratiu [Ra82]
wurde gezeigt, dass {G, H} 1 eine Lie-Poisson Klammer ist. Die zur ”
Loop“-Algebra g gehörende
duale Subalgebra g ∗ ist eine Lie-Algebra, welche die Poisson-Submannigfaltigkeit P w , auf der die
linearisierte Dynamik stattfindet, definiert. Für ein System mit n Freiheitsgraden, dessen Trajektorien
auf einem n-Torus liegen, formen die generierten koadjungierten Orbits der Lie-Gruppe G Loops,
welche den Fluss von g ∗ auf dem n-Torus kennzeichnen. Die Wirkungsvariable I k ,diesichausderkanonischen
Transformation der linearisierten Bewegungsgleichungen mit der Hamiltonfunktion δ 2 H C
(Gleichung (3.10)) ergibt, charakterisiert den Torus, auf dem sich die Orbits befinden.
Durch Ausnutzen der Eigenschaften der Jacobi-Lie Klammer lässt sich leicht nachprüfen, dass
{G, H} 2 = 〈δμ, [δG/δμ, δH/δμ]〉 ebenfalls die Jacobi-Identität erfüllt, und damit eine Lie-Poisson
Klammer ist. Die Gleichung (3.10) zweiter Ordnung der Störungsreihe ist unter der Einschränkung
der Linearität von δH/δμ Hamiltonisch. Sie beschreibt den Einfluss der Stokesdrift auf die Strömung.
Durch die Entwicklung der Gleichung (3.3) bis zur zweiten Ordnung und höher ergeben sich Trajektorien
der Fluidpartikel im Konfigurationsraum, die nicht länger geschlossen sein müssen. Im
Rahmen dieser Arbeit gehen wir davon aus, dass auch das gestörte Problem integrabel ist. Dies ist
eine Arbeitshypothese und daher nicht immer gegeben. Sie sichert aber, dass auch die Trajektorien
des gestörten Systems ebenfalls auf einem I kStörung -Torus liegen. Wie aus Kapitel (1.2.2) bekannt
ist, beschreibt die Stokes-Drift den nach Phasenmittelung residualen Anteil des Seegangs an der
mittleren Strömung. Die O(ε 2 )-Anteile der Gleichung (3.10) enthalten deshalb die Divergenz des
Radiationstress-Tensors ([LoS62]) als seegangsinduzierten Beitrag.
Nun noch einige Bemerkungen zu den Stabilitätseigenschaften des gekoppelten Systems Seegang-
Strömung. Energie-Casimir Methode (Kapitel (2)): Die Gleichgewichtslösung μ e ist formal stabil,
solange die erste Variation von H C ausgewertet bei μ e verschwindet, und die zweite Variation
Vorzeichen-Definit ist (δ 2 H C (μ e ) stets > 0oder< 0). Damit definiert δ 2 H C eine Norm im Raum
der Störungen δμ. Daδ 2 H C ein Hamilton-Funktional und damit eine Konstante der Bewegung ist
bleibt eine Lösung der Gleichungen (3.9), (3.10) die sich zum Zeitpunkt t 0 auf einer durch die Norm
gegebenen Energiefläche (Sphäre) befunden hat für alle Zeiten t auf dieser (Liapunov Stabilität).