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3.1. STABILITÄTSANALYSE 17
Nach Voraussetzung ist die Gleichgewichtslösung μ e stabil und daher, auf den räumlichen und zeitlichen
Skalen der Störung betrachtet, stationär. Der Übergang vom Hamiltonfunktional H zum Funktional
H C stellt eine Separation hinsichtlich der Skalen dar, auf denen sich die Dynamik der Lösung
δ (n) μ vollzieht. Die lineare Wellentheorie ergibt sich als Lösung der ersten nicht trivialen Gleichung
niedrigster (erster) Ordnung 2 . Ein formaler Ausdruck für die Divergenz des Radiationstress-Tensors
folgt aus den Störungstermen zweiter Ordnung. Für das wohl einfachste strömungsdynamische Beispiel,
das eines zweidimensionalen, inkompressiblen Fluids, wird die Störungsanalyse in Kapitel (4.1)
durchgeführt und der Divergenzterm des Radiationstress-Tensors berechnet. Anschließend wird in
Kapitel (4.2) für den Fall eines zweidimensionalen Flusses in einem homogenen und flachen Gewässer
der seegangsbedingte Strömungsantrieb bestimmt.
Das gekoppelte System Seegang-Strömung kann wie folgt verstanden werden. Durch äußeren Antrieb
(Windinput, Dissipation, etc.) und nichtlineare Effekte wird die Orbitalbewegung der linearen
Moden ständig gestört. Solange die Voraussetzungen für die adiabatische Invarianz von I gegeben
ist (Gleichung (2.10)), führt eine Änderung der intrinsischen Frequenz σ zu einer spektralen Umverteilung
von Energie. In Kapitel 5.2 wird gezeigt, dass der Betrag des Radiationstress-Tensor S ij in
diesem Fall ungleich Null ist. Ein inhomogenes Wellenfeld führt aufgrund der nichtverschwindenden
Divergenz von S ij zu einem zusätzlichen, seegangsinduzierten Antrieb der mittleren Strömung.
Wie in [VS98] wird die Entwicklung der hydrodynamischen Gleichungen unter der Annahme durchgeführt,
dass eine richtungsabhängige Separation der räumlichen und zeitlichen Skalen (Kapitel(3.2)),
auf denen die Prozesse verschiedener Ordnung in ε ablaufen, möglich ist 3 .InX-Richtung, der Ausbreitungsrichtung
des Seegangs, wird die Amplitude der Wellen δμ als langsam veränderlich und auf
großen räumlichen Skalen variierend vorausgesetzt. Dahingegen läuft die Dynamik der Phase ϑ/ε
auf den typischen räumlichen ‖˜x‖ = ε‖X‖ und zeitlichen t = εT Skalen (ε ≪ 1) des Seegangs ab.
Entlang der ˇy-Koordinate des Orthogonalensystems ( ˇX, ˇy) ist die Amplitude des Seegangs schnell
veränderlich. Für μ kann daher ein WKB-Ansatz (Wenzel, Kramers, Brillouin) eingeführt werden
(Gleichung (3.11), bzw. (3.12)). In jeder Ordnung n der Störungsanalyse ist δ (n) μ gleich dem Produkt
eines langsam veränderlichen Faktors μ (n) (ỹ,X,T) und einer schnell oszillierenden Funktion
exp(iϑ(X,T)/ɛ).
3.1 Stabilitätsanalyse
Das Kapitel beginnt mit einer kurzen Wiederholung der verwendeten Begriffe. Auf der zu einer Lie-
Algebra g, das ist ein Vektorraum zusammen mit einer schiefsymmetrischen (schiefhermitischen)
Klammer, welche die Jacobi Identität erfüllt, dualen Algebra g ∗ kann eine Lie-Poisson Klammer
{F, H} definiert werden, mit der sich die Bewegungsgleichungen F ˙ = {F, H} in der folgenden Form
hinschreiben lassen.
〈 [
dF
δF
dt = {F, H}(μ) = μ,
δμ , δH ]〉
δμ
Dabei ist μ ∈ g ∗ , δF/δμ ∈ g und 〈·, ·〉 eine nur schwach degenerierte Zweiform. Die Jacobi-Lie
Klammer [a, b] =L a b ∈ g ist für ein ideales Fluid gegeben als [v, w] = ∑ (w j (∂v i /∂x j )−v j (∂w i /∂x j ))
und H ist das Hamiltonfunktional H : g ∗ → R. Eine alternative Fassung der Gleichung (3.2) ergibt
2 Die Bilanzgleichung niedrigster Ordnung (O(ε 0 )) nimmt durch den Übergang von H zu H C ihre triviale Form
˙μ e =0an.DieLösung μ e = konstant enthält einen über viele Perioden gemittelten Beitrag des Seegangs
3 Der ursprünglich von Bretherton (1968)([Bre68]) stammende Ansatz zerlegt die räumlichen Koordinaten in ”
laterale“x
und ”
longitudinale“Koordinaten y und setzt voraus, dass sich das Hamiltonfunktional H in x-Richtung nur
langsam ändert.
(3.2)