1 Aufgaben zum Spannungstensor

Die interessierende Impulsbreite wird im Wesentlichen durch das Argument der Exponentialfunktion
bestimmt, weshalb es genügt, dieses weiter auszuwerten. Man formt zunächst weiter um und
erhält
− (x − v gt) 2
4
( 1
a + 1 a ∗ )
= − (x − v gt) 2
4
= − (x − v gt) 2
2α
= − (x − v gt) 2
2x 2 0
a + a ∗
aa ∗ = − (x − v gt) 2 1
α − jβt + 1 (
α + jβt
4 1
α − jβt) ( 1
α + jβt)
1
1
+ β
α 2 t = − (x − v gt) 2
2 2 ( 1
2 α + αβ2 t 2)
mit x 0 =
√
1
α + αβ2 t 2
Der Term x − v g t ist konstant, also berechnet sich die zeitliche Änderung des Argumentes über
die Ableitung von x 0 zu
(√ )
dx 0
dt = d 1
dt α + αβ2 t 2 = 1 2αβ 2 t αβ 2
√ = √
2 1
α + αβ2 t 2 1
+ αβ
αt 2
2
Mit α = 2(∆k) 2 gilt für die Einheiten [α] = 1 und [β] = m2
m 2 s
und die Dimension des obigen
Ausdrucks ist mit [ x˙
0 ] = m s
auch die einer Geschwindigkeit. Betrachtet man zum Schluss noch
den zeitlichen Grenzwert
( ) dx0
αβ 2
lim = lim √ = √ αβ = √ √
2β
2β∆k =
t→∞ dt t→∞ 1
+ αβ
αt 2 ∆x
2
wird deutlich, dass die Geschwindigkeit der Impulsverbreiterung direkt vom Dispersionsparameter
β abhängt, in stark dispersiven Medien also umso höher ist. Gleichzeitig besteht eine indirekte
Proportionalität zur Ortsunschärfe ∆x, d.h. ein räumlich sehr eng lokalisiertes Wellenpaket wird
sich wesentlich schneller verbreitern als ein weniger schmales.
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