1 Aufgaben zum Spannungstensor

Definiert man weiterhin den Maxwellschen Spannungstensor gemäß
T = (T ij ) , T ij = ε
[E i E j − 1 ]
2 δj i E2 + 1 [B i B j − 1 ]
µ 2 δj i B2
mit δ j i = {
1 i = j
0 i ≠ j
(15)
so gilt für die j-te Komponente der Divergenz div T (j ∈ {1, 2, 3})
(div T) j =
3∑
i=1
∂T ij
∂x i
=
[
= ε E j div E+ ⃗
3∑
i=1
{ [ ∂Ei ∂E j
ε E j +E i
∂x i
(
⃗E grad
)
E j − 1 2 grad j E 2 ]
+ 1 µ
]+ 1 [ ∂Bi ∂B j
B j +B i
]}− ε ∂E 2
− 1 ∂B 2
(16)
∂x i µ ∂x i ∂x i 2 ∂x j 2µ ∂x j
[
B j div B+ ⃗ ( )
⃗B grad B j − 1 ]
2 grad j B 2 (17)
und Gleichung 14 kann ausgedrückt werden als
⃗f = div T − ε ∂ ( )
⃗E × B ⃗ = div T − εµ ∂ ( )
⃗E × H ⃗
∂t
∂t } {{ }
= ⃗ S
(18)
mit dem Poynting-Vektor ⃗ S. Bei der Bildung des Volumenintegrals zur Berechnung der Gesamtkraft
entfällt schließlich die Divergenz durch Anwendung des Gaußschen Integralsatzes und man erhält
˚
⃗F =
V
‹
⃗fdV =
∂V
Td ⃗ A − εµ ∂ ∂t
˚
V
⃗SdV (19)
Letztlich lässt sich Gleichung 15 mithilfe der Einheitsmatrix 1 und des dyadischen Produktes ⃗a◦ ⃗ b = ⃗a ⃗ b T
noch in etwas vereinfachter Notation schreiben, womit die Definition des Spannungstensors die Form
[
T = ε E ⃗ ◦ E ⃗ − 1 ]
2 1 E ⃗ 2 + 1 [
B ⃗ ◦ B
µ
⃗ − 1 ]
2 1 B ⃗ 2
(20)
annimmt.
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