1 Aufgaben zum Spannungstensor

Aufgabe 1
Bei der Berechnung der Kraft zwischen zwei Kondensatorplatten (Fläche A, Flächenladungsdichte σ)
handelt es sich um ein rein elektrostatisches Problem, weshalb die magnetische Feldstärke H ⃗ = ⃗0 ist
und demzufolge auch kein Beitrag vom Poynting-Vektor S ⃗ = E ⃗ × H ⃗ = ⃗0 ausgeht. Gleichung 19 für
die wirkende Gesamtkraft vereinfacht sich hierdurch und es gilt
‹
⃗F = TdA ⃗ − εµ ∂ ˚ ‹
⃗SdV = TdA
∂t
⃗
∂V
V
} {{ }
=0
Mithilfe der Gaußschen Methode bestimmt man zunächst die elektrische Feldstärke ⃗ E = E x ⃗e x innerhalb
des Kondensators, wobei diese nur zwischen beiden Platten wirksam ist und Randeffekte vereinfachend
vernachlässigt werden. Als Volumen V wird ein Bereich gewählt, welcher eine der Platten
(z.B. bei x = 0) vollständig umschließt und an deren Geometrie angepasst ist.
∂V
d ⃗ A
ε
⃗E
σ, A
Es gilt dann
˚
V
‹
∂V
‹
div DdV ⃗ =
∂V
x
⃗Dd ⃗ A =
εE x ⃗e x dA⃗e x = εE x A =
˚
V
˚
V
⇒ ⃗ E =
σ
ε ⃗e x
ϱ V dV
¨
σδ(x)dV =
A
σdA = σA
Hiermit ist nun
⎛ ⎞
⎛
E x
⃗E 2 = Ex 2 , E ⃗ ◦ E ⃗ = ⎝ 0 ⎠ ( E x 0 0 ) E 2 ⎞
x 0 0
= ⎝ 0 0 0⎠ , B ⃗ ◦ B ⃗ = 0
0
0 0 0
und der Maxwellsche Spannungstensor lautet
⎡⎛
[
T = ε E ⃗ ◦ E ⃗ − 1 ]
2 1 E ⃗ E 2 ⎞ ⎛
2 x 0 0
= ε ⎣⎝
0 0 0⎠ − 1 E 2 ⎞⎤
⎛
x 0 0
⎝ 0 Ex 2 0 ⎠⎦ = ε E 2 ⎞
x 0 0
⎝ 0 −E 2
2
0 0 0 0 0 Ex
2 x 0 ⎠
2
0 0 −Ex
2
Die Kraft zwischen beiden Kondensatorplatten berechnet sich schließlich aus dem Oberflächenintegral
dieses Tensors über die geschlossene Oberfläche ∂V , wobei der Integrationsbereich V wie zuvor eine
der Platten beinhaltet. Es folgt
⎛
⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⃗F = ε 2
‹
∂V
Ex 2 0 0
⎝ 0 −Ex 2 0
0 0 −Ex
2
dA
⎠ ⎝ 0 ⎠ = ε ¨
2
0
A
E 2 x
⎝ 0
0
⎠ dA = ε 2 E2 xA⃗e x = σ2
2ε A⃗e x
3