1 Aufgaben zum Spannungstensor

(c) Um abzuschätzen, wie schnell sich das Wellenpaket verbreitert, wird die Taylor-Entwicklung
von ω(k) der vorangegangenen Teilaufgabe bis zum quadratischen Term durchgeführt:
ω(k) ≈ ω(k 0 ) + dω(k)
dk ∣ (k − k 0 ) + 1 d 2 ∣
ω(k) ∣∣∣k0
k0
2 dk 2 (k − k 0 ) 2 = ω 0 + v g (k − k 0 ) + β(k − k 0 ) 2
} {{ }
=:β
Der zusätzliche Faktor β, der sich durch die zweite Ableitung nach k ergibt, wird dabei häufig als
Dispersionsparameter bezeichnet. Setzt man diesen Ausdruck in Gleichung (1) ein, erhält man
u(x, t) =
≈
≈
≈
1
√
2π
1
√
2π
1
√
2π
ˆ∞
−∞
∞
ˆ
−∞
∞
ˆ
−∞
[
u(k) exp j ( ω(k)t − kx )] dk
[ (
)]
u(k) exp j ω 0 t + v g t(k−k 0 ) + βt(k−k 0 ) 2 − (k−k 0 +k 0 )x dk
[
u(k) exp
[
] 1
exp j(ω 0 t − k 0 x) √
2π
j(ω 0 t − k 0 x) − j (x − v g t) (k−k 0 ) + jβt(k−k 0 ) 2] dk
} {{ }
=:x ′
ˆ∞
−∞
[
u(k) exp − jx ′ (k−k 0 )
]
[
exp jβt(k−k 0 ) 2] dk
Mit der in Teilaufgabe a) ermittelten Relation u(k) und der Substitution α := 2(∆k) 2 ist nun
⎡
⎤
[
u(k) exp jβt(k−k 0 ) 2] = 1 [
∆k exp − (k−k 0) 2
]
+jβt(k−k 0 ) 2 = 1 ( )
α
∆k exp ⎢ 1
⎣ − α −jβt (k−k 0 ) 2 ⎥
⎦
} {{ }
=:a
und es ergibt sich
[ ]
1
u(x, t) ≈ exp j(ω 0 t−k 0 x) √
2π∆k
Unter Nutzung der Beziehung
ˆ∞
−∞
ˆ∞
−∞
[
exp − a(k−k 0 ) 2] [
]
exp − jx ′ (k−k 0 ) dk
(
) √ ( )
π
exp − ax 2 − j2bx dx =
a exp − b2 a
mit x ̂= k−k 0 und 2b ̂= x ′ = x−v g t wird hieraus schließlich
[ ]
1
u(x, t) ≈ exp j(ω 0 t−k 0 x) √ exp
(− (x − v gt) 2 )
2a∆k 4a
Da sich mit dem „Verlaufen“ des Impulses auch dessen Energieverteilung immer mehr in den
Raum ausbreitet, die Energie einer Welle jedoch streng mit ihrem Amplituden-Betragsquadrat
korreliert, wird zur Bestimmung der Verbreiterungsgeschwindigkeit des Wellenpaketes im Folgenden
das Betragsquadrat von u(x, t) gebildet. Dieses ist
(
|u(x, t)| 2 = u(x, t) · u(x, t) ∗ 1
= √ √
2a 2a ∗ (∆k) exp − (x − v gt) 2
− (x − v gt) 2 )
2 4a 4a ∗
9