Theoretische und praktische Untersuchungen zur Akustik von ...

5.2. FE-Formulierung für das Fluid
fen:
• Die thermischen Zustandsänderungen erfolgen adiabatisch
• Der Schallwechseldruck sei klein gegenüber dem atmosphärischen Druck, ebenso die
Wechseldichte gegenüber der Ruhedichte und die Schallschnelle gegenüber der Schallgeschwindigkeit,
die allein temperaturabhängig sei. Im folgenden wird die Temperatur
als konstant angenommen.
• Das schallführende Medium befinde sich in einem ruhenden Zustand.
Wird eine harmonische Zeitabhängigkeit des Schalldrucks p angenommen
p = ˆpe iωt , (5.2)
erhält man aus der Wellengleichung (5.1) die Helmholtzgleichung
∆p + k 2 p = 0 (5.3)
mit der Wellenzahl k = ω
c F
. In dieser Darstellung verzichtet man auf die Kennzeichnung der
Amplitude durch (ˆ).
5.2 FE-Formulierung für das Fluid
Da Innenraumprobleme betrachtet werden, wird zur Berechnung des Fluids die FEM verwendet.
Im folgenden soll ein kurzer Überblick über die Herleitung gegeben werden. Details
können z.B. [20] entnommen werden.
Die schwache Form der Helmholtz-Gleichung ergibt sich durch Multiplikation von (5.3) mit
einer Wichtungsfunktion, die der Variation δp des Freiwertes entspricht, und Integration über
das Fluidgebiet Ω
Die Durchführung der partiellen Integration führt auf
∫
Ω
∫
Ω
δp(∆p + k 2 p) dΩ = 0. (5.4)
∫
(∇δw∇p + k 2 δwp)dΩ +
mit dem Nablaoperator ∇. Γ kennzeichnet den Rand des Fluidgebiets.
Γ
δw ∂p dΓ = 0 (5.5)
∂n
Das Oberflächenintegral aus (5.5) dient im folgenden zur Formulierung verschiedener Randbedingungen
im Fluidgebiet. Übliche Randbedingungen für akustische Probleme sind in Abbildung
5.1 zusammengestellt. An einer schallharten Wand Γ 1 muss die Normalkomponente
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