Klassische Elektrodynamik - Institut für Theoretische Physik der ...

Kapitel I. Physikalische und mathematische Grundlagen, Maxwell-Gleichungen 11
Wir können dann eine Menge von Punktladungen beschreiben durch die Ladungsdichte
ρ(x) = ∑ i
q i δ (3) (x − x i )
(I.23)
so daß
∫
ρ(x) d 3 x = ∑ i
q i = Q ,
(I.24)
wobei Q die Gesamtladung ist. Man verifiziert leicht, daß
∫
E(x) = d 3 x ′ ρ(x ′ ) x − x′
|x − x ′ | 3 (I.25)
dann mit (I.10) identisch ist. Beachte: die Formel (I.25) gilt nur für ruhende Ladungen. Sie
enthält nur das Superpositionsgesetz und das Coulombgesetz – damit aber fast die gesamte
Elektrostatik. In makroskopischen Anwendungen benutzt man oft glatte (stetige) Ladungsdichte
ρ(x).
In ähnlicher Weise das Feld bewegter Ladungen zu berechnen, ist mathematisch i. a. sehr
schwierig. Stattdessen werden wir (I.25) in eine differentielle Form bringen, die für die Verallgemeinerung
auf bewegte Ladungen besser geeignet ist. Dazu benötigen wir einen wichtigen
Satz aus der Vektoranalysis.
I.5 Fundamentalsatz der Vektoranalysis
Wir teilen hier einige wichtige Ergebnisse der Vektoranalysis mit (ohne Herleitung). Wir
wollen hier das qualitative Bild genauer fassen, das aus der Hydrodynamik anschaulich ist:
ein Vektorfeld ist durch seine Wirbel und Quellen bestimmt.
Einschub über Linien- und Flächenintegrale
Wir betrachten zunächst Linienintegrale (Kurvenintegrale):
∫
a · ds
C
entlang einer Kurve C für ein Vektorfeld a(x). Solche Integrale berechnet man durch Parametrisierung
der Kurve C: