Klassische Elektrodynamik - Institut für Theoretische Physik der ...

Kapitel I. Physikalische und mathematische Grundlagen, Maxwell-Gleichungen 17
∫
F C · ds = 0
(I.51)
C
oder wegen F C = qE
∫
E · ds = 0
(I.52)
C
und damit
rot E = 0 .
(I.53)
Falls das betrachtete Gebiet im R 3 sternförmig ist, existiert dann eine Funktion ϕ(x) so daß 2
E(x) = −grad ϕ(x) .
(I.54)
Da
sieht man
−grad x
1
|x − x ′ | = x − x′
|x − x ′ | 3 (I.55)
∫
ϕ(x) =
ρ(x ′ )
|x − x ′ | d3 x ′ (I.56)
ϕ heißt elektrostatisches Potential. Als elektrische Spannung zwischen zwei Punkten
1, 2 definiert man
U 12 =
∫ 2
1
E(x) · ds = ϕ(x 1 ) − ϕ(x 2 ) .
(I.57)
Für zeitabhängige Felder sind (I.51) und (I.52) aber i. a. nicht richtig! Im zeitabhängigen
Fall kann ein geladenes Teilchen, das einen geschlossenen Weg umläuft, Energie gewinnen.
Experimentell findet man: durch zeitliche Änderung des Magnetfeldes können Ladungen
beschleunigt werden. Wir betrachten dazu die elektromotorische Kraft (EMK) ∮ C E · ds.
Es gilt das Faradaysche Induktionsgesetz
∫
E · ds = − 1 ∫
d
B · df
(I.58)
c dt
C
F
worin F irgendeine von C berandete Fläche ist, C = ∂F. In Worten: Die elektrische Randspannung
(bzw. EMK) ist gleich 1/c mal der Abnahme des magnetischen Flusses durch F.
Das Minuszeichen im Induktionsgesetz impliziert die Lenzsche Regel. Der durch die
induzierte Spannung hervorgerufene Strom in einem Leiter entlang C erzeugt ein Magnetfeld,
das der Änderung von B entgegenwirkt.
Bei festgehaltener Fläche F ist
d
dt
∫
F
∫
B · df =
F
∂B
∂t · df .
2 Auf sternförmigen Gebieten kann man ein solches ϕ z. B. durch
(I.59)
für ein konservatives a konstruieren.
Z 1
ϕ(x) = a(tx) · x dt
0