Klassische Elektrodynamik - Institut für Theoretische Physik der ...

Kapitel II. Elektrostatisches und magnetostatisches Grundproblem, Randwertprobleme 29
Zum Beweis wollen wir zunächst die Eindeutigkeit der Lösung betrachten, die Existenz zeigen
wir durch Konstruktion, s. u.
Angenommen, es gibt zwei verschiedene Vektorfelder v 1 ≠ v 2 mit obigen Eigenschaften, d. h.
div v 1 = div v 2 = 4πρ und rot v 1 = rot v 2 = 4π c j. Dann ist u := v 1 − v 2 ≠ 0 und es gilt
div u = div v 1 − div v 2 = 0 ,
rot u = rot v 1 − rot v 2 = 0 .
(II.16)
(II.17)
Weiter gilt u = O(1/r 2 ) für r → ∞. Wegen rot u = 0 existiert ein φ mit u = grad φ. Wegen
div u = 0 gilt dann ∆φ = 0. Weiter ist φ = O(1/r) für r → ∞. Mit der Wahl ψ = φ sagt uns
die 1. Greensche Formel in der Version (II.12), daß
∫
∫
(grad φ) 2 d 3 x = u 2 d 3 x = 0 , (II.18)
R 3 R 3
und damit u = 0 entgegen der Annahme, daß u ≠ 0. Daraus folgern wir, daß v eindeutig ist.
Da das gerade diskutierte u gerade die in B) genannten Voraussetzungen erfüllt, folgt auch
diese Aussage aus obiger Argumentation. □
In diesem Beweis sind wir der Laplace-Gleichung begegnet.
∆φ = 0
(II.19)
Die Lösungen der Laplace-Gleichung heißen harmonische Funktionen.
Wir finden aufgrund obiger Argumentation: Jede Lösung φ der Laplace-Gleichung (d. h.
jede harmonische Funktion), die wie 1/r für r → ∞ abfällt, ist identisch Null. Denn wegen
der 1. Greenschen Formel ist dann grad φ = 0, und damit φ = const. Diese Konstante muß
aber Null sein, da sonst φ nicht wie 1/r für r → ∞ abfallen würde. Also φ = 0.
Beachte: Der Eindeutigkeitsbeweis war nur möglich mit der Voraussetzung, daß φ =
O(1/r) und v = O(1/r 2 ) für r → ∞, denn alle Funktionen der Form (in sphärischen Polarkoordinaten)
∞∑ l∑
φ(r, θ, ϕ) = a lm r l Y lm (θ, ϕ)
(II.20)
l=0 m=−l
mit reellen Koeffizienten a lm und den Kugelflächenfunktionen Y lm , die wir später kennenlernen,
erfüllen ∆φ = 0, aber nicht φ = O(1/r) für r → ∞.
II.2
Konstruktion der Felder aus vorgegebenen Quellen und
Wirbeln
Allgmein möchten wir aus den (als bekannt angenommenen) Quellen und Wirbeln eines Vektorfeldes
dieses Feld konstruieren. Wir gehen dabei der Reihe nach vor:
a) Konstruktion von E aus vorgegebenen Quellen, falls E wirbelfrei ist,
b) Konstruktion von B aus vorgegebenen Wirbeln, falls B quellenfrei ist,
c) Konstruktion für allgemeine Quellen und Wirbel.
Dabei wollen wir immer annehmen, daß Wirbel und Quellen außerhalb einer Kugel von endlichem
Radius verschwinden.
Die beiden Probleme a) und b) resultieren gerade aus den Maxwell-Gleichungen für zeitunabhängige
(stationäre) Situationen.