Klassische Elektrodynamik - Institut für Theoretische Physik der ...

Kapitel I. Physikalische und mathematische Grundlagen, Maxwell-Gleichungen 21
Zur Behebung dieses Widerspruchs muß man die Änderung des elektrischen Feldes zwischen
den Platten berücksichtigen. Richtig ist:
bzw. in differentieller Form:
∫
C
B · ds = 4π c
∫
O
j · df + 1 c
∫
d
dt
O
E · df ,
(I.78)
rot B(x, t) = 4π c j(x, t) + 1 c
∂
E(x, t)
∂t (I.79)
Man bezeichnet 1 ∂
4π ∂t
E(x, t) als (Maxwellsche) Verschiebungsstromdichte.3
I.6.c
Maxwell-Gleichungen
Damit haben wir die Maxwell-Gleichungen in integraler Form:
∫
∫
∫
∫
∫
E · df = 4π
∫
B · ds = 4π c
E · ds = − 1 c
B · df = 0
d
dt
ρ d 3 x = 4πQ
j · df + 1 c
∫
B · df
d
dt
∫
E · df
(I.80)
(I.81)
(I.82)
(I.83)
Dabei sind die Integrale auf der linken Seite jeweils über Flächen bzw. Kurven zu nehmen,
die die Volumina bzw. Flächen beranden, über die die Integrale der rechten Seite zu nehmen
sind.
In differentieller Form lauten die Maxwell-Gleichungen (Maxwell, 1865)
div E = 4πρ
rot B = 4π c j + 1 c
rot E = − 1 ∂B
c ∂t
div B = 0
∂E
∂t
(I.84)
(I.85)
(I.86)
(I.87)
• Die Gleichungen der differentiellen Form sind partielle Differentialgleichungen erster
Ordnung in den Koordinaten und der Zeit.
• Die Gleichungen sind linear in den Feldern, was das Superpositionsgesetz für die elektrischen
und magnetischen Felder reflektiert.
• Die Gleichungen sind gekoppelt.
• Die integrale Form und die differentielle Form sind äquivalent.
3 Dieser Name ist nur wenig sinnvoll aber üblich.