Klassische Elektrodynamik - Institut für Theoretische Physik der ...

Kapitel I. Physikalische und mathematische Grundlagen, Maxwell-Gleichungen 25
so daß das Integral über F für R → ∞ verschwindet, da der Integrand überall gegen Null
geht. Damit erhalten wir aus (I.102) mit grad ϕ = −E die elektrostatische Energie einer
Ladungsverteilung ρ:
U = 1 ∫
∫
E 2 (x) d 3 x = u(x) d 3 x ,
(I.104)
8π
mit der Energiedichte
u(x) = 1
8π E2 .
(I.105)
Hier ist aber u(x) ≥ 0 und damit U ≥ 0 auch für Ladungen unterschiedlichen Vorzeichens!
Dies widerspricht unserer obigen Überlegung für endlich viele Einzelladungen. Der Beitrag,
der hier die Positivität von U bewirkt, kommt offenbar aus dem Selbstenergiebeitrag, der im
Integral zunächst nicht erheblich erschien.
Das Problem der klassischen Elektrodynamik liegt tatsächlich darin, daß jede Ladung
ein Feld erzeugt, das dann (tatsächlich!) auf die Ladung selber wirkt. Den entsprechenden
Beitrag zur Energie nennt man die Selbstenergie der Ladung.
Die Selbstenergie ist schon für eine einzelne punktförmige Ladung unendlich. Betrachten
wir zum Beispiel ein Elektron, das bei x = 0 ruht. Dann ist
F = qE ,
und die Selbstenergie des Elektrons
E = q
x
|x| 3 ∣
∣∣∣x=0
= ∞
(I.106)
U 1 = e2
2
∫ δ (3) (x)δ (3) (x ′ )
|x − x ′ |
d 3 x d 3 x ′ = e2
2
∫ 1
|x| δ(3) (x) d 3 x = ∞ .
(I.107)
Es hat (zwecklose) Versuche gegeben, dieses Problem zu umgehen, indem man das Elektron
als ausgedehntes Teilchen annimmt, z. B. als Kugel vom Radius R 0 mit einer homogener
Ladungsdichte. Zum einen wäre eine solche Ladungsverteilung im Rahmen der Elektrodynamik
instabil, da zusätzliche (nicht elektrodynamische) Kräfte erforderlich wären, um sie
zusammenzuhalten. Das Modell führt zu einer Selbstenergie von (s. Übungen)
3
.
5 R 0
e 2
(I.108)
(Eine auf einer Kugeloberfläche vom Radius R 0 homogen angenommene Ladungsverteilung
ergäbe 1 e 2
2 R 0
.)
Die Überlegung, daß die Ruhemasse m e des Elektrons vollständig durch die Selbstenergie
generiert wird,
m e c 2 = U 1
(I.109)
führt dann zur Abschätzung für einen klassischen Elektronradius von
r 0 =
e2
m e c 2 ≃ 2, 28 · 10−15 m .
(I.110)
Experimentell weiß man aber, daß das Elektron mindestens um einen Faktor 100 kleiner ist.
(Soweit man weiß, ist es sogar punktförmig.) Daher ist ein solches Modell zum anderen auch
experimentell widerlegt.