Klassische Elektrodynamik - Institut für Theoretische Physik der ...

Kapitel I. Physikalische und mathematische Grundlagen, Maxwell-Gleichungen 23
I.8 Gleichungen der klassischen Elektrodynamik, Widerspruchsfreiheit
der Maxwell-Gleichungen
Die klassische Elektrodynamik wird durch die Maxwell-Gleichungen und das Newtonsche
Gesetz
d
dt p = F
mit der Lorentzkraft F beschrieben.
Für Materie, die aus Punktteilchen mit Ladungen q i und Massen m i besteht,
mit
(I.91)
ρ i = q i δ(x − x i (t) , j i = ρ i v i (t) (I.92)
ρ = ∑ i
ρ i ,
j = ∑ i
j i ,
(I.93)
gilt
d
dt (m iv i ) = F i (x i , t)
= q i
[E(x i , t) + 1 ]
c v i × B(x i , t) .
(I.94)
Die Maxwell-Gleichungen alleine (ohne Lorentzkraft) stellen 8 Komponentengleichungen
für 6 Komponenten von E und B dar. Die Gleichungen können also nicht unabhängig sein.
Tatsächlich findet man, daß die Divergenz von (I.85) wegen div rot = 0 ergibt
4π
c div j = −1 ∂E
div
c ∂t = −4π c
∂ρ
∂t ,
(I.95)
wobei im zweiten Schritt die Gleichung (I.84) benutzt wurde. Wir erhalten also hier die
Kontinuitätsgleichung
div j = − ∂ρ
∂t ,
(I.96)
die offenbar in den Maxwell-Gleichungen enthalten ist.
Wir erkennen aber auch in (I.95), daß
∂
(div E − 4πρ) = 0 .
∂t (I.97)
Wenn also die Maxwell-Gleichung div E = 4πρ zu einem Zeitpunkt erfüllt ist, so garantiert
die Maxwell-Gleichung (I.85), daß dies zu allen Zeitpunkten der Fall ist.
Ähnlich folgt aus der Divergenz von (I.86)
∂
(div B) = 0 .
∂t (I.98)
Wenn also Gleichung (I.87) zu einem Zeitpunkt erfüllt ist, so ist sie es aufgrund (I.86) immer.
Wir können daher die beiden ’nicht-dynamischen’ Maxwell-Gleichungen (I.84) und (I.87)
als Neben- oder Zwangsbedingungen auffassen. Das Verschwinden ihrer Zeitableitung wird
durch die anderen beiden Gleichungen gesichert.
Die Abhängigkeit der Maxwell-Gleichungen kann man auch folgendermaßen betrachten:
Die Gleichungen (I.85) und (I.86) erlauben die Berechnung von E und B, falls j zu allen
Zeiten, und E(t = 0) und B(t = 0) gegeben sind und bei t = 0 (I.84) und (I.87) erfüllt sind.
ρ folgt dann aus der Kontinuitätsgleichung.