Klassische Elektrodynamik - Institut für Theoretische Physik der ...

Kapitel II. Elektrostatisches und magnetostatisches Grundproblem, Randwertprobleme 33
Für das Magnetfeld B = rot A also
B(x) = 1 c rot x
= 1 c
∫
j(x ′ )
|x − x ′ | d3 x ′
∫ (
grad x
1
|x − x ′ |
)
× j(x ′ ) d 3 x ′ ,
(II.49)
worin rot (ϕa) = ϕ rot a − a × grad ϕ benutzt wurde. Wir erhalten damit das Gesetz von
Biot und Savart
B(x) = 1 ∫ j(x ′ ) × (x − x ′ )
c |x − x ′ | 3 d 3 x ′ (II.50)
Wir sollten uns nachträglich noch einmal überzeugen, daß der Ansatz B = rot A allgemein
möglich war, indem wir explizit die Rotation von (II.48) ausrechnen und daraus B erhalten.
Dies ist (natürlich ohne Verwendung des aus (II.48) erhaltenen (II.50)!) durch Anwendung
der (stationären) Maxwell-Gleichungen und partieller Integration tatsächlich möglich (siehe
auch Übungen):
II.2.c
rot A = 1 ∫
c ∇ j(x ′ )
x ×
|x − x ′ | d3 x ′
= 1 ∫ ( )
1
∇ x
c |x − x ′ × j(x ′ ) d 3 x ′
|
= − 1 ∫ (
)
1
∇ x ′
c |x − x ′ × j(x ′ ) d 3 x ′
|
= 1 ∫
1
c |x − x ′ | ∇ x ′ × j(x′ ) d 3 x ′ (part. Int.)
= 1 ∫
1
4π |x − x ′ | rot rot B(x′ ) d 3 x ′ (Maxwell-Gl.)
= − 1 ∫
1
4π |x − x ′ | ∆ x ′B(x′ ) d 3 x ′ (div B = 0)
= − 1 ∫
B(x ′ 1
) ∆ x ′
4π
|x − x ′ | d3 x ′ (zweimalige part. Int.)
∫
= B(x ′ )δ (3) (x − x ′ ) d 3 x ′
= B(x) .
Allgemeiner Fall vorgegebener Quellen und Wirbel
(II.51)
Betrachten wir zuletzt den allgemenein Fall, daß für ein Vektorfeld v die Quellen und Wirbel
vorgegeben sind,
div v = 4πρ
rot v = 4π c j .
(II.52)
Dieser Fall tritt in der Elektro- und Magnetostatik nicht auf, ist aber von allgemeinem Interesse
in der Physik.