Klassische Elektrodynamik - Institut für Theoretische Physik der ...

Kapitel II. Elektrostatisches und magnetostatisches Grundproblem, Randwertprobleme 39
Die Feldlinien treffen senkrecht auf die Platte, wie für Leiteroberflächen notwendig.
Im Gebiet vor der Platte ist das Feld dasselbe wie für zwei Punktladungen q und −q im
Abstand 2a, aber ohne Platte. Die zweite Ladung bezeichnet man als Spiegelladung.
Abbildung
Man erkennt bereits aus Symmetriegründen, daß in der Ebene, in der sich im ursprünglichen
Problem die Platte befunden hatte, ϕ = 0 gilt.
Wir wählen die Koordinaten so, daß die Platte in der x, z-Ebene liegt, und die Ladung
sich bei (0, a, 0) befindet. Mit der Bezeichnung
⎛ ⎞
0
x ′ = ⎝a⎠ =: a
(II.77)
0
ist die Greensche Funktion für dieses Problem dann
G D (x, x ′ ) =
1
|x − x ′ | − 1
|x + x ′ | . (II.78)
Darin ist der erste Term die bekannt, ’normale’ Greensche Funktion. Der zweite Term erfüllt
vor der Platte die Gleichung ∆F = 0, wie gefordert. Die Funktion G D aus (II.78) verschwindet
tatsächlich in der gesamten y = 0-Ebene, denn dort
|x − x ′ | = √ x 2 + (0 − a) 2 + z 2 = √ x 2 + (0 + a) 2 + z 2 = |x + x ′ | . (II.79)
Aus dieser Bedingung kann man in der Tat den zweiten Term aus dem aus Symmetrie-
Überlegungen plausiblen Ansatz
G D (x, x ′ ) =
1
|x − x ′ | + A
|x + x ′ |
mit einer Konstante A herleiten, indem man A = −1 aus (II.79) bestimmt.
Das Potential ist dann wegen ρ(x ′ ) = q δ (3) (x ′ − a)
∫
ϕ(x) = q δ (3) (x ′ − a)G D (x, x ′ ) dV ′
V
q
=
|x − a| − q
|x + a|
[
]
1
= q √
x 2 + (y − a) 2 + z − 1
√ 2 x 2 + (y + a) 2 + z 2
(II.80)
(II.81)
Das elektrische Feld senkrecht zur x, z-Ebene ist dann
E y (x) = − ∂ϕ
∂y
(II.82)