ColSim - Simulation von Regelungssystemen in ... - OptiControl

2.2. MODELLBILDUNG DURCH DAS THERMISCHE ERSATZSCHALTBILD 7
Q .
k-i
1
sCk-i
T
in
∆TRk T
∆T
Teilsystem
k
R,k+1 Tk+1
K1
K2
Q . R k =1/kA k
R =1/kA
Q . R,k
Q . k+1 k+1
.
Q . R,k+1
R,k+1=0
k
Qk+1
M 1 T
k
M 2 T
k+1
Tout
1
sCk
1
sC k+1
Abbildung 2.3: Thermisches Ersatzschaltbild des Wandmodells (RC-Netzwerk) mit Bauelementen, die
in Analogie zum elektischen Ersatzschaltbild verwendet werden. Zur Aufstellung der Systemgleichungen
wendet man die Kirchhoff’schen Regeln auf die Maschen und Knoten des Netzwerkes an.
Es gibt drei wichtige Elementarelemente linearer Systeme, die man auch als Bauelemente bezeichnet.
Die Analogie zwischen elektrischen, thermischen und mechanischen Systemen erlaubt
die Übertragung der Begrifflichkeiten in Abhängigkeit der Anwendung.
Widerstand (thermisch oder elektrisch, R therm =T= _ Q bzw. R elektr =U=I )
Kapazität (thermisch C therm = Q therm =T , elektrisch C elektr = Q elektr =U)
Induktivität (elektrisch, kein thermisches Äquivalent)
Dabei stellt der Ohm’sche Widerstand die proportionale Verknüpfung von Ein- und Ausgangsgröße
über einen Faktor R dar. Induktivität und Kapazität erlauben die Beschreibung des Systemverhaltens
hinsichtlich der zeitlichen Änderung des Eingangssignals. Sie zeichnen sich
durch einen „inneren“ Zustand (Ladezustand) aus und erlauben somit die Modellierung eines
dynamischen Systems.
Durch die Kombination der Bauelemente wird der Funktionalzusammenhang der einzelnen
Übertragungsglieder hergestellt. Ein Ersatzschaltbild oder auch Netzwerkgraph repräsentiert den
Zusammenhang in graphischer Form.
Mit Hilfe der zwei Kirchhoff’schen Regeln läßt sich der Funktionalzusammenhang des Netzwerkes
mathematisch beschreiben (vgl. Abbildung 2.3).
Maschenregel: elektrisch: U =0bzw. thermisch: T =0
Knotenpunktregel: elektrisch: I =0bzw. thermisch: _ Q =0
Die Maschenregel besagt, daß die Summe der Potentialdifferenzen eines geschlossenen Stromkreises
M gleich Null ist, d.h. daß sich die Temperaturdifferenzen über den Bauelementen im
Wandmodell aus Abbildung 2.3 kompensieren. Die Definition der Bezugsmasse (Bezugstemperatur)
ändert an diesem Zusammenhang nichts, so daß in Abbildung 2.3 direkt die absolute
Temperaturgröße T k verwendet werden darf (anstelle von T k = T k , T 0 ). Die Knotenregel besagt,
daß sich jeder Zweigstrom eines Knotenpunktes aus der Summe aller weiteren Zweigströme