Wellenlehre und Optik - Physik-Institut - Universität Zürich

Dies ist die gleiche Eigenschaft, die wir für gekoppelte Schwingungen mit unendlich
vielen Oszillatoren S. 3 erhalten hatten. Die allgemeine Lösung der stehenden Welle ist
also auch hier eine Überlagerung (Superposition) von unendlich viele Oberschwingungen,
also mit u(x,t) = G(x) · F(t) und F n (t) = C n sin ω n t + D n cos ω n t = A n cos(ω n t + δ n )
∞∑
( ) nπx
u(x,t) = A n cos(nω 1 t + δ n ) · sin , mit ω 1 = π √
Z
n=1
l
l µ . (13)
Die Frequenzen der Obertöne einer Saite sind ganze Vielfache der Grundfrequenz.
Andere schwingungsfähige Gebilde in zwei Dimensionen wie
Platte 7 , Membrane oder in drei Dimensionen wie Stäbe, Kugeln, Seifenbasen,
Hochfrequenzkavitäten, in denen stehende Wellen erzeugt werden
können, besitzen eine zwei- oder dreifach unendliche Manigfaltigkeit von
Obertönen, deren Frequenzen aber im allgemeinen keine ganzen Vielfache
der Grundfrequenz sind. Eine kreisförmige Membran z.B. besitzt die
Eigenfrequenzen ω 1 , 1.59ω 1 , 2.13ω 1 , 2.30ω 1 , 2.62ω 1 , usw. Wird ein solches
System mit einer harmonische Kraft angeregt, dann tritt bei jeder
Eigenfrequenz eine Resonanz auf.
Die Lösung der stehenden Welle Gl. (13) kann umgeformt werden mit
2 cos α sin β = sin(α + β) + sin(α − β) und δ n = 0 in
u(x,t) =
∞∑
n=1
A n
2 [− sin k n(x − vt) + sin k n (x + vt)]
einer nach rechts laufenden und einer nach links laufenden Welle gleicher Amplitude.
Eine stehende Welle kann immer als eine Überlagerung von zwei
gegenläufigen Wellen gleicher Amplitude aufgefasst werden.
1.5 Reflexion und Transmission von Wellen
Treffen Wellen auf eine Diskontinuität im Medium, in welchem sie sich ausbreiten, so
werden sie im allgemeinen teilweise reflektiert und teilweise hindurchgelassen. Als Beispiel
betrachten wir eine Saite, deren Masse pro Längeneinheit µ sich an der Stelle x = 0
7 Die Klangfiguren (Abb.) einer Platte wurden von Ernst Chladni (1756-1827, Prof. in Wittenberg)
vorgeführt. Einen Preis für die Theorie erhielt 1816 Sophie Germain (1.4.1776-1831, Medaille des Institut
de France für Arbeiten zu Fermats Vermutung, die 1997 bewiesen wurde; durfte als erste nicht mit
einem Mitglied verheiratete Frau Vorlesungen der Académie des Sciences zuhören.) unter dem Namen
eines männlichen Kollegen als Pseudonym Antoine-August Le Blanc [S.Singh “Fermats letzter Satz”]. Die
Eigenfrequenzen sind ω nm = πv ph a −1√ n 2 + m 2 mit n,m ganzen Zahlen. Es treten also Entartungen auf
(gleiche Eigenfrequenzen für verschieden Eigenfunktionen). Im Raum führen Entartungen zu Nachhall,
da der Raum dann viele Schwingungsmöglichkeiten hat. Ein guter Konzertsaal vermeidet Entartungen
mit dem Goldenen Schnitt a/b = 1 2 (√ 5 − 1) (Grenzwert der Fibonacci-Folge a b , b
a+b ,...).
Klangfiguren von Geigenböden sind Beurteilungskriterien der Güte eines Instrumentes [C.M.Hutchins,
Spektrum Dez.1981 S.112].
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