Formelsammlung für die Vorlesung Statistik A - Universität Bonn

Formelsammlung Statistik I Seite 14
Spearmans Korrelationskoezient
• Rang von x i : rang(x i ) = Position des i-ten Messwertes in der aufsteigend
sortierten Urliste x (1) ≤ x (2) ≤ . . . ≤ x (n) mit der Zusatzregel,
dass gleichen Messwerten (sog. Bindungen, ties) jeweils das Mittel
ihrer Ränge zugewiesen wird.
• Mittel aller Ränge: rang X = 1 n
n∑
rang(x i ) = 1 n
i=1
• Spearmans Korrelationskoezient :
r SP =
n∑
i=1
i = n+1
2
n∑
(rang(x i ) − rang X )(rang(y i ) − rang Y )
i=1
√
∑ n ∑
(rang(x i ) − rang X ) 2
n (rang(y i ) − rang Y ) 2
i=1
• Wertebereich: r SP ∈ [−1, 1]
• Rechentechnisch günstige Version:
Unter der Voraussetzung, dass keine Bindungen (ties) auftreten
(d.h., x i ≠ x j , y i ≠ y j für alle i, j), gilt:
i=1
∑
6 n Di
2
i=1
r SP = 1 −
n(n 2 − 1)
mit den Rangdierenzen D i = rang(x i ) − rang(y i ), 1 ≤ i ≤ n.
Lineare Einfachregression
Gegeben seien n Beobachtungen der Merkmale Y und X: (y 1 , x 1 ), . . . , (y n , x n ).
• Lineare Einfachregression:
y i = α + βx i + ɛ i ,
i = 1, . . . , n
• Parameter α, β: α bezeichnet den Achsenabschnitt, β die Steigung.
• Fehlerterme ɛ i . (Annahme: Unsystematische Schwankung um 0.)
Statistik_A@statistik.uni-bonn