Formelsammlung für die Vorlesung Statistik A - Universität Bonn
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<strong>Formelsammlung</strong> <strong>Statistik</strong> I Seite 15<br />
• Bestimmung der Paramter der Ausgleichsgeraden durch <strong>die</strong> Kleinste-<br />
Quadrate-Methode:<br />
ˆα = ȳ − ˆβ¯x,<br />
n∑<br />
(x i − ¯x)(y i − ȳ)<br />
ˆβ =<br />
i=1<br />
n∑<br />
= ˜s XY<br />
(x i − ¯x) 2 ˜s 2 X<br />
i=1<br />
• als Lösung der Normalgleichungen:<br />
ˆα n + ˆβ<br />
n∑<br />
x i =<br />
n∑<br />
ˆα x i + ˆβ<br />
i=1<br />
i=1 i=1<br />
n∑<br />
x 2 i =<br />
n∑<br />
i=1<br />
y i<br />
n∑<br />
x i y i<br />
i=1<br />
• Angepaÿte Werte: ŷ i = ˆα + ˆβx i , i = 1, . . . , n.<br />
• Residuen: ˆɛ i = y i − ŷ i , i = 1, . . . , n.<br />
n∑<br />
• Streuungszerlegung:<br />
(y i − ŷ i ) 2<br />
∑<br />
(y i − ȳ) 2 = n ∑<br />
(ŷ i − ȳ) 2 + n<br />
n∑<br />
(y i − ȳ) 2 i=1<br />
i=1<br />
i=1<br />
Gesamtstreuung<br />
i=1<br />
n∑<br />
(ŷ i − ȳ) 2 = ˆβ ∑<br />
2 n (x i − ¯x) 2 Durch Regression erklärte Streuung<br />
i=1<br />
i=1<br />
n∑<br />
(y i − ŷ i ) 2 Residualstreuung<br />
i=1<br />
• Bestimmtheitsmaÿ (Determinationskoezient):<br />
R 2 =<br />
n∑<br />
(ŷ i − ȳ) 2<br />
i=1<br />
n∑<br />
= 1 −<br />
(y i − ȳ) 2<br />
i=1<br />
n∑<br />
(y i − ŷ i ) 2<br />
i=1<br />
n∑<br />
=<br />
(y i − ȳ) 2<br />
i=1<br />
(<br />
˜sXY<br />
˜s X ˜s Y<br />
) 2<br />
= r 2 XY<br />
• Prognose an einer Stelle x 0 : ŷ 0 = ˆα + ˆβx 0<br />
<strong>Statistik</strong>_A@statistik.uni-bonn
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