Formelsammlung für die Vorlesung Statistik A - Universität Bonn

Formelsammlung Statistik I Seite 16
4 Zeitreihenanalyse
Gegeben sei eine zeitlich geordnete Folge von n Beobachtungen eines Merkmals
X: x 1 , x 2 , . . . , x n
Graphische Darstellung
• Zeitreihenpolygon: Darstellung der Werte {x t } 1≤t≤n in Abhängigkeit
von t mit anschlieÿender linearer Interpolation.
• Alternativ: Darstellung von x t in Abhängigkeit vom Datum der t-ten
Messung mit anschlieÿender linearer Interpolation.
Komponentenmodelle
• Additives Komponentenmodell:
Modellierung der Zeitreihe als: x t =
g t
}{{}
Trend
+ s t }{{}
Saison
• Multiplikatives Komponentenmodell:
Modellierung der Zeitreihe als: x t = g t · s t · z t .
+ z t }{{}
Durch Logarithmieren kann ein multiplikatives Modell auf ein additives
Komponentenmodell zurückgeführt werden: ln x }{{} t = ln g t + ln s }{{} t + ln z }{{} }{{} t
x ⋆ t gt
⋆ s ⋆ t zt
⋆
Schätzung eines linearen Trends
• Modell: g t = β 0 + β 1 · t
• Schätzung der Parameter durch die KQ-Methode:
Rest
ˆβ 0 und ˆβ1 minimieren
• Lösungen: (für t = 1, 2, . . . , n)
ˆβ 1 =
∑
12 n x t · t
t=1
n(n 2 − 1) −
6¯x
n − 1
n∑
(x t − β 0 − β 1 · t) 2
t=1
und ˆβ0 = ¯x − ˆβ 1
n + 1
2
• Geschätzte Trendfunktion: ĝ t = ˆβ 0 + ˆβ 1 · t
• Trendbereinigte Zeitreihe: x t − ĝ t
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