Mathe-Abi Baden-Württemberg 2015 - Geometrie

Geometrie - Gerade und Ebene 67
Ebene in Hessescher Normalform
Die vierte Möglichkeit eine Ebene zu definieren, ist die Hessesche Normalform. Sie
ähnelt der Normalen- und Koordinatenform, allerdings wird der normierte Normalenvektor
zur Definition der Ebene verwendet:
⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
Der Abstand dieser Ebene mit dem Normalenvektor ⃗⃗⃗⃗⃗ zum Ursprung beträgt d. Der
Abstand s eines Punktes P zu dieser Ebene ergibt sich, indem der Punkt P in die
Normalenform der Ebene eingesetzt wird:
⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
Die Hessesche Normalform eignet sich daher sehr gut zur Berechnung von Abständen
zwischen Punkt und Ebene.
Beispiel (siehe Abitur 2005, Pflichtteil Aufgabe 7):
Gegeben sind die Punkte ( ), ( ) und ( ).
Die Parametergleichung der Ebene, in der die Punkte A, B und C liegen, lautet:
⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( ) ( ) ( )
Der Normalenvektor dieser Ebene ergibt sich aus dem Kreuzprodukt ihrer
Richtungsvektoren ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ und ⃗⃗⃗⃗⃗⃗:
⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( ) ( ) = ( ) = ( ) ( ) ( )
Die Normalengleichung der Ebene lautet daher (z. B. mit Punkt A eingesetzt):
( ⃗ ⃗) ⃗⃗ ( ⃗ ( )) ( )
Durch Ausmultiplizieren dieser Gleichung ergibt sich die Koordinatengleichung der
Ebene:
( )
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