Grundlagen der Mechanik und Elektrodynamik 2011 - Theoretische ...

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14 2 Newton'sche Mechanik ⇒ h(t) = h 0 + v ∞ { t + m α v ∞ ⇒ h(t) = h 0 + v ∞ ⎧⎪ ⎨ ⎪ ⎩ t − t 0 + m α v ∞ [ ] ln C exp { . . . } − B − t 0 − ⎡ C exp ln ⎢ ⎣ { 2 α v∞ m (t − t 0) C − B m ln α v ∞ } ⎤⎫ − B ⎪⎬ ⎥ ⎦ ⎪⎭ [ ] } C − B { Grenzfälle: h(t 0 ) = h 0 + v ∞ 0 + m } ln 1 = h 0 { α v ∞ t > t 0 + ∆t ⇒ h(t) ≈ h 0 + v ∞ t − t 0 + m ( )} −B ln α v ∞ C − B Vergleich mit freiem Fall (siehe 2.4.1): ̂= lineare Funktion h(t) = − 1 2 g t2 + v 0 t + h 0 = − 1 2 g ( t 2 − 2 v 0 g t ) + h 0 = − 1 2 g ( t − v 0 g ) 2 + v2 0 2 g + h 0 Scheitelpunkt h(t) 01 01 00 11h 00 11 0 00 11 Parabel 01 01 01 lineare Fkt. t = − |v | 0 q ∆t t Abbildung 2.2: Der freie Fall 2.4.3 Schwingendes Spinnennetz z x 00 11 00 11 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 (a) Skizze 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 y z 000 111 00000 11111 000000 111111 000 111 000 111 00 11 00 11 s 00 11 00 11 x (b) Koordinatenwahl Abbildung 2.3: System einer schwingenden Spinne
2.5 Schwingungen 15 Das Spinnennetz schwingt nach dem Windstoÿ: Netzform bewirkt Rückstellkraft proportional zur Auslenkung (Hooke'sches Gesetz): ⃗F = −k x ⃗e x ; k > 0 Masse des Systems Netz + Spinne sei m, betrachtet werde die Bewegung des Schwerpunktes S ohne Luftreibung : Dynamische Grundgleichung: m ¨⃗r = ⃗ F ⇒ m ẍ = − k x ⇔ m ẍ + k x = 0 (⋆) Lösungsansatz: Da ẍ bis auf Konstante gleich x : x(t) = A sin(ω t) + B cos(ω t) ẋ(t) = A ω cos(ω t) − B ω sin(ω t) ẍ(t) = −A ω 2 sin(ω t) − B ω 2 cos(ω t) In (⋆) eingesetzt: ⇒ −m A ω 2 sin(ω t) − m B ω 2 cos(ω t) + k A sin(ω t) + k B cos(ω t) = 0 ⇔ (−m ω 2 + k) A sin(ω t) + (−m ω 2 + k) B cos(ω t) = 0 ⇒ −m ω 2 + k = 0 ⇒ ω = √ k m ̂= Schwingungsfrequenz Die Amplituden A und B folgen aus den Anfangsbedingungen: Für t = 0 gilt: x(0) = B ⇒ B = x(0) ẋ(0) = A ω ⇒ A = 1 ω ẋ(0) ⇒ x(t) = ẋ(0) ω sin(ω t) + x(0) cos(ω t) Bahnkurve Also: Netz (+Spinne) schwingt harmonisch, ist also ein harmonischer Oszillator 2.5 Schwingungen Die grundlegenden Schwingungsformen (harmonische, gedämpfte bzw. erzwungene Schwingung) ergeben sich aus folgender dynamischer Grundgleichung: m ¨⃗r = ⃗ FH + ⃗ F R + ⃗ F E mit: FH ⃗ = Rückstellkraft ⃗F R = Reibungskraft ⃗F E = externe (periodische) Kraft
Seite 1: Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ
Seite 4 und 5: iv Vorbemerkung: Dieses Skript basi
Seite 6 und 7: vi Inhaltsverzeichnis 4.5 Das Hamil
Seite 9 und 10: Teil I Theoretische Mechanik
Seite 11 und 12: 1 Historische Einführung • Die M
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Seite 17 und 18: 2.2 Inertialsysteme und Galilei-Tra
Seite 19 und 20: 2.4 Einfache Anwendung der Newton's
Seite 21: 2.4 Einfache Anwendung der Newton's
Seite 25 und 26: 2.5 Schwingungen 17 Einsetzen ergib
Seite 27 und 28: 2.5 Schwingungen 19 (2) kritische D
Seite 29 und 30: 2.6 Erhaltungssätze 21 Skizze: Abb
Seite 31 und 32: 2.6 Erhaltungssätze 23 C 1 01 01 C
Seite 33 und 34: 2.7 Bewegung im konservativen Zentr
Seite 39 und 40: 3 Das Zweikörperproblem Bisher: N
Seite 41 und 42: 3.2 Erhaltungssätze für Mehrteilc
Seite 43 und 44: 3.3 Das Zweiteilchensystem 35 Für
Seite 45 und 46: 4 Lagrange-Mechanik Neben der bishe
Seite 47 und 48: 4.2 Die Lagrange-Gleichungen 2. Art
Seite 49 und 50: 4.4 Erhaltungssätze und Symmetrien
Seite 51 und 52: 4.4 Erhaltungssätze und Symmetrien
Seite 53 und 54: 4.5 Das Hamilton-Prinzip 45 Es gilt
Seite 55 und 56: 5 Der starre Körper Bisher: Jetzt:
Seite 57 und 58: 5.2 Kinetische Energie und Träghei
Seite 63 und 64: 5.3 Drehimpuls und Drehimpulssatz 5
Seite 65 und 66: 5.4 Die Eulerschen Gleichungen 57 B
Seite 67 und 68: 5.5 Lagrangefunktion des Starren K
Seite 69 und 70: Teil II Theoretische Elektrodynamik
Seite 71 und 72: 1 Historische Einführung Elektrisc
Seite 73 und 74:
2 Die Maxwell-Gleichungen 2.1 Die G
Seite 75 und 76:
2.1 Die Grundgesetze der Elektrodyn
Seite 77 und 78:
2.2 Mathematischer Exkurs: Vektoran
Seite 79 und 80:
2.3 Anwendung der Sätze von Gauÿ
Seite 81 und 82:
2.5 Die Maxwell-Gleichungen 73 Beme
Seite 83 und 84:
3 Elektrostatik ∂ . . . ist chara
Seite 85 und 86:
3.3 Superpositionsprinzip und Coulo
Seite 87 und 88:
3.4 Das elektrische Potential 79 De
Seite 89 und 90:
3.5 Die mathematische Beschreibung
Seite 91 und 92:
3.6 Randwertprobleme 83 3.6.1 Verha
Seite 93 und 94:
3.6 Randwertprobleme 85 da die Wegl
Seite 95 und 96:
3.6 Randwertprobleme 87 Das Dirichl
Seite 97 und 98:
3.7 Der elektrische Dipol 89 3.7 De
Seite 99 und 100:
4 Magnetostatik ∂ . . . ist chara
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4.2 Direkte Lösung der Maxwell-Gle
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4.3 Das magnetische Vektorpotential
Seite 105 und 106:
4.4 Das Biot-Savart-Gesetz 97 Beisp
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4.6 Verhalten von ⃗ B(⃗r) und
Seite 109 und 110:
5 Elektrodynamik ≠ 0, so dass kei
Seite 111 und 112:
5.2 Eichtransformationen 103 5.2 Ei
Seite 113 und 114:
5.3 Erhaltungssätze in der Elektro
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5.4 Ein kurzer Überblick über ele
Seite 117 und 118:
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Seite 121 und 122:
Teil III Spezielle Relativitätsthe
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1 Grundlagen Ursprüngliche Erwartu
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1.2 Die Lorentztransformation 117 D
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2 Folgerungen 2.1 Gleichzeitigkeit
Seite 129 und 130:
2.4 Geschwindigkeitsaddition 121
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3 Kovariante Formulierung 3.1 Der M
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3.2 Vierergeschwindigkeit, Viererim
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3.4 Der Feldstärketensor 127 Bemer
Seite 137 und 138:
3.5 Die Lorentz-Transformation der
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