Grundlagen der Mechanik und Elektrodynamik 2011 - Theoretische ...

42 4 Lagrange-Mechanik
∂L
⇒ L = T − V ; ≠ 0 für alle l
∂q l
⇒ keine zyklischen Koordinaten
2. Wahl: (q 1 , q 2 , q 3 ) = (R x , R y , R z ) ; (q 4 , q 5 , q 6 ) = (r, ϑ, ϕ)
⇒ T = 1 2 M(Ṙ2 x + Ṙ2 y + Ṙ2 z) + 1 2 µ (ṙ2 + r 2 ˙ϕ 2 )
V = − G M µ
r
⇒ L = T − V ;
∂L
= ∂L = ∂L = 0
∂R x ∂R y ∂R z
⇒ M ¨R x = M ¨R y = M ¨R z = 0
⇒ ⃗p = const. ̂= kräftefreie Bewegung des Schwerpunktes
∂L
∂ϕ = 0 ⇒ d dt
∂L
∂ ˙ϕ = d dt (µ r2 ˙ϕ) = 0
⇒ µ r 2 ˙ϕ = const ̂= (Relativ-)Drehimpulserhaltung
⇒
∂L
∂ϑ = 0 ⇒ d ∂L
dt ∂ ˙ϑ = 0
da aber bereits ∂L = 0 ergibt sich keine weitere Erhaltungsgröÿe
∂ ˙ϑ
Insgesamt erhält man also:
5 zyklische Koordinaten und 4 Erhaltungsgröÿen
Neben dem zu einer zyklischen Koordinate gehörenden (erhaltenen) generalisierten Impuls lassen
sich in der Lagrange-Mechanik natürlich auch die üblichen Erhaltungssätze für Energie,
Impuls und Drehimpuls formulieren. Mehr noch: die Lagrange-Beschreibung erlaubt einen einfachen
Weg einen tiefer liegenden Zusammenhang zwischen Erhaltungsgröÿen und Symmetrien
zu erkennen. So sind die Haupt-Erhaltungssätze mit der Homogenität und Isotropie von Raum
und Zeit verknüpft. Um das einzusehen betrachten wir zunächst die
4.4.3 Energieerhaltung
Die Homogenität der Zeit führt auf die Energieerhaltung: Wenn die Lagrange-Funktion
eines abgeschlossenen Systems invariant unter zeitlichen Translationen t ′ = t + α ist, folgt:
⇒
⇒
L = L(q 1 , . . . , q s , ˙q 1 , . . . , ˙q s , t) = L(q 1 , . . . , q s , ˙q 1 , . . . , ˙q s , t + α) ⇒ ∂L
∂t = 0
dL
dt = ∑ {( ) ( ) }
∂L ∂L
˙q l + ¨q l = ∑ { ( ) ( ) }
d ∂L ∂L
˙q l + ¨q l = d ∑
( ) ∂L
˙q l
∂q l ∂ ˙q l dt ∂ ˙q l ∂ ˙q l dt ∂ ˙q l
l
l
l
[ d ∑
{( ) } ]
∂L
˙q l − L = 0 ⇔ dH dt ∂ ˙q l dt = 0 ⇒ H = const.
l
} {{ }
=: H b= Hamiltonfunktion