Grundlagen der Mechanik und Elektrodynamik 2011 - Theoretische ...

32 3 Das Zweikörperproblem
3.2 Erhaltungssätze für Mehrteilchensystem
Zusätzliche Schwierigkeit bei Mehrteilchensystemen: die Zahl der Bewegungsgleichungen kann
sehr groÿ sein
⇒ explizite Lösung aller Bewegungsgleichungen ist nicht nötig
⇒ Idee: Berechnung von Bahnkurven aus Erhaltungssätzen (vgl. 2.6)
3.2.1 Impulserhaltung
Idee:
Summation aller dynamischen Grundgleichungen
⇒
N∑
˙⃗p i
i=1
= ∑ i
Mit den Denitionen:
folgt:
m i¨⃗ri = ∑ i
= ∑ i
⎛
⎞
⎝ Fext,i ⃗ + ∑ ⃗F ij
⎠ = ∑ ⃗F ext,i + ∑
j
i
i
⃗F ext,i + 1 ∑ ∑ (
⃗Fij +
2
⃗ )
F ji = ∑
i j } {{ } i
=0
M = ∑ i m i ̂= Gesamtmasse
⃗R = 1 ∑
M i m i⃗r i ̂= Ortsvektor des Schwerpunktes
⃗P = ∑ i m i ˙⃗r i = M ˙⃗ R ̂= Gesamtimpuls
⃗F ext = ∑ ⃗ i
F ext,i ̂= (externe) Gesamtkraft
M ⃗ R = ∑ i
Schwerpunktsatz:
∑
j
⃗F ext,i
m i ⃗r i ⇒ M ¨⃗ ∑
R = ∣ m i¨⃗ri = ˙⃗ P = Fext ⃗ Impuls- oder Schwerpunktsatz
✞ i ☎
m
✝ i ≠ m i(t)
✆
Der Schwerpunkt eines Teilchensystem bewegt sich so, als ob die Gesamtmasse des Systems in
ihm vereinigt ist und die Summe der externen Kräfte auf ihn einwirkt.
Impulserhaltungssatz:
Für ein abgeschlossenes System ( ⃗ Fext = 0)
bleibt der Impuls des Schwerpunktes erhalten:
⃗F ij
M ¨⃗ R = ˙⃗P = 0 ⇒ ⃗ P = const.
Bemerkung:
Die Bewegung eines gesamten Teilchensystems kann also durch die Bewegung
eines Massenpunktes, nämlich des Schwerpunktes beschrieben werden.
Bemerkung:
Mit Hilfe des Schwerpunktsatzes können sogenannte Relativkoordinaten de-
niert werden: ⃗r i = ⃗ R + ⃗s i