Grundlagen der Mechanik und Elektrodynamik 2011 - Theoretische ...

28 2 Newton'sche Mechanik
2. Gesetz (1609): Der Fahrstrahl von der Sonne zum Planeten überstreicht in gleichen
Zeiten gleiche Flächen.
Betrachte:
→
r
dr →
01
01
dA
Abbildung 2.11: überstrichene Fläche
⇒
⇒
dA = 1 2 | ⃗r × d⃗r | = 1 d⃗r
|⃗r ×
2 dt | dt = 1 1
L
|⃗r × ⃗v | dt = |⃗r × ⃗p | dt =
2 2m 2m dt
dA
dt = A ˙ = L
2m = const. Flächensatz
˙ A heiÿt Flächengeschwindigkeit.
3. Gesetz (1619) Die Quadrate der Umlaufzeiten zweier Planeten verhalten sich wie die
Kuben der groÿen Halbachsen der Ellipsen.
Es gilt:
A ˙ = L
∣ ∫ T ∣∣
2m ⇔ 2m Ȧ = L 0
2m [A(T ) − A(0)] = L · T
. . . dt
⇒
✞
☎ ✄
Ellipsenäche = π ab
✝
✆ ✂siehe oben ✁
|
|
⇔ 2 m π a b = L · T ⇔ 2 m π L m
⇔ √ 2 π
( ) 4π
a 3/2 = T ⇒ T 2 2
= a 3
G M G M
1
√
G M
a 3/2 = L · T
Da die Konstante 4π2
G M
für alle Planeten gleich ist, folgt:
T1
2
T2
2
= a3 1
a 3 2