Grundlagen der Mechanik und Elektrodynamik 2011 - Theoretische ...

22 2 Newton'sche Mechanik
Folgerung:
Die Änderung der kinetischen Energie eines Massenpunktes entspricht der an
ihm (von auÿen) geleisteten Arbeit.
Oenbar ist die kinetische Energie keine Erhaltungsgröÿe. Wir denieren daher "konservative"
Kräfte durch die Wegunabhängigkeit des Integrals:
Dann gilt
Damit folgt
P∫
V (⃗r) = − F ⃗ (⃗r) · d⃗r Potentielle Energie oder Potential
P 0
∫ P 2 ∫P 0 ∫P 2 ∫P 1 ∫P 2
W = F ⃗ · d⃗r = F ⃗ · d⃗r + F ⃗ · d⃗r = − F ⃗ · d⃗r + F ⃗ · d⃗r
P 1 P 1 P 0 P 0 P 0
= V (⃗r 1 ) − V (⃗r 2 ) = V 1 − V 2
T 2 − T 1 = W = V 1 − V 2 ⇔ T 2 + V 2 = T 1 + V 1
⇒ T + V = E = const. ̂= Energieerhaltung
Folgerung:
Für einen Massenpunkt in einem konservativen Kraftfeld gilt der Energieerhaltungssatz.
Bemerkung:
Für ⃗ F = ⃗ F (⃗r, ⃗v, t) ist E i.A. zeitabhängig, also keine Erhaltungsgröÿe.
Bemerkung: Die Leistung P = dW dt
ist allgemein, also auch für nicht konservative Kräfte,
deniert.
Berechnung von ⃗ F (⃗r) aus dem Potential V (⃗r):
⇒
⇒
∫ P
V (⃗r) = −
dV (⃗r)
dt
=
P 0
∂V (⃗r)
∂⃗r
∫t
F ⃗ · d⃗r = −
· d⃗r
dt
⃗ F = −
∂V (⃗r)
∂⃗r
t 0
!
= −F ⃗ · d⃗r
dt
⃗ F · d⃗r
dt dt
= − grad V konservatives Kraftfeld
Beispiel:
In kartesischen Koordinaten gilt mit V = V (x, y, z):
( ) ( ) ( )
⃗F = − grad V = −∇V ⃗ ∂V ∂V ∂V
= − ⃗e x − ⃗e y − ⃗e z
∂x ∂y ∂z
Damit die Denition des Potentials V (⃗r) als Wegintegral sinnvoll ist, muss das Integral wegunabhängig
sein.