Grundlagen der Mechanik und Elektrodynamik 2011 - Theoretische ...

20 2 Newton'sche Mechanik
2.5.3 Erzwungene, gedämpfte Schwingung
Man hat: m ẍ + µ ẋ + k x = F 0 cos(ω t) ⇔ ẍ + µ mẋ + ω2 0 x = F 0
cos(ω t)
m
Also: inhomogene Dgl. ⇒ allgemeine Lösung = allgemeine Lösung der homogenen
Dgl. + spezielle (= partikuläre)
Lösung der inhomogenen Dgl.
homogene Lösung: siehe 2.5.2
inhomogene Lösung: nach Einschwingzeit schwingt das System mit der Frequenz ω, daher
Ansatz für partikuläre Lösung (a ∈ C, ω ∈ R):
x(t) = a exp{i ω t} ⇒ ẋ(t) = i ω a exp{i ω t} ⇒ ẍ = − ω 2 a exp{i ω t}
cos(ω t) ↦−→ exp(i ω t)
Einsetzen: −a ω 2 m + i ω µ a + a k = F 0
⇒ a =
✞
✝
F 0
k − ω 2 m + i ω µ
⇒ |a| = √ aā = F 0
m
Φ = arctan
√
{ Im(a)
Re(a)
ω0 2 = k m
|
=
☎
✆
F 0 /m
(ω0 2 − ω2 ) + i µ m ω = F 0
m
(ω0 2 − ω2 ) − i µ m ω !
(ω0 2 − ω2 ) 2 + µ2 ω 2
m 2
(ω0 2 − ω2 ) 2 + µ2 ω 2
m 2
(ω0 2 − ω2 ) 2 + µ2 ω 2 = F 0 1
√
m
m 2 (ω0 2 − ω2 ) 2 + µ2 ω 2
} {
m 2
= arctan − µ ω/m } {
ω0 2 − = arctan
ω2
}
µ ω
m (ω 2 − ω0 2) = |a| exp{ i φ}
⇒ x inhomog (t) = F 0 exp { i [ ω t + φ ] }
√
̂= partikuläre Lösung der inhom. Dgl.
m
(ω0 2 − ω2 ) 2 + µ2 ω 2
m 2
Physikalisch relevant ist der Realteil, daher lautet die allgemeine Lösung:
( )
x(t) = Re x inhomog (t) + x homogen (t)
⇒
✞ |
t ≫ 2 m µ
✝
☎
✆
x(t) ≈ F 0
m
√
cos(ω t + φ)
(ω 2 0 − ω2 ) 2 + µ2 ω 2
m 2
Bemerkung:
• max. Amplitude für ω R =
√
ω 2 0 − µ2
2
̂= Resonanzfrequenz
• µ = 0 ⇒ ω R = ω 0 ⇒ |a| = ∞ ̂= Resonanzkatastrophe
• µ2
2 > ω2 0 ⇒ keine Resonanz mehr