Grundlagen der Mechanik und Elektrodynamik 2011 - Theoretische ...

26 2 Newton'sche Mechanik
Als konkrete Anwendung untersuchen wir die Planetenbewegung:
Hier ist die konservative Zentralkraft = Gravitationskraft:
Dann ndet man
⃗F = −G Mm
r 2 ⃗e r ⇒
✞ |
✝
⃗F = −∇V
⃗
V (r) = −G Mm
☎
r
✆
ϕ − ϕ 0 =
✄
✂
∫
z.B. Bronstein
|
=
✞
☎
˜ϕ
✝ 0 = ϕ 0 + const.
⎧
✆ ⎨
|
⇒ϕ − ˜ϕ 0 = arcsin
⎩
⇒ sin(ϕ − ˜ϕ 0 ) =
Mit den Denitionen
und der Wahl
erhält man
√ ∫
L dr
1
(
)
r
√2m
= 2 E + G Mm
2m
r
− L2
2 m r 2
✁√ 1 L √ ⎧
2m
⎨
GMmr − L 2 /m
arcsin √
2m L ⎩
r G 2 M 2 m 2 + 2EL2
m
GMm 2
L
p =
GMm 2
L
− L r
√
2mE + G2 M 2 m 4
L 2
GMm 2
L
− L r
√
=
1 + 2EL2
G 2 M 2 m 3
⎫
⎬
⎭
( )
1 − L 2 1
GMm 2 r
√
1 + 2EL2
G 2 M 2 m 3
√
L 2
G M m 2 ; e = 1 + 2 E L2
G 2 M 2 m 3
˜ϕ 0 = 3 2 π
L dr
√
r Er 2 − GMmr − L2
2m
⎫
⎬
⎭ + const.
p
r = 1 + e cos ϕ ⇒ r(ϕ) = p
1 + e cos ϕ
Kegelschnittgleichung
Daraus folgert man für die Bahnkurve:
Aus diesen Überlegungen folgen die Kepler'schen Gesetze:
e = 0 ̂= Kreis (Planeten)
e < 1 ̂= Ellipse (Planeten)
e = 1 ̂= Parabel (Kometen)
e > 1 ̂= Hyperbel (Kometen)
1. Gesetz (1609): Die Planeten bewegen sich auf Ellipsen, in deren einem Brennpunkt die
Sonne steht.