Grundlagen der Mechanik und Elektrodynamik 2011 - Theoretische ...

36 3 Das Zweikörperproblem
3.4 Planetenbewegung als Zweikörperproblem
Sei ⃗r 1 = ⃗r p der Ortsvektor eines Planeten mit Masse m p
⃗r 2 = ⃗r s der Ortsvektor der Sonne mit Masse m s
und ⃗r = ⃗r 1 − ⃗r 2 = ⃗r p − ⃗r s dann gilt:
V ext,i = 0
(abgeschlossenes System!)
V 12
(
⃗r1 , ⃗r 2
)
= V12 (⃗r) = −G m sm p
r
= −G Mµ
r
; µ = m sm p
m s + m p
;
M = m s + m p
E = 1 2 M ˙⃗ R 2 + 1 2 µ ˙⃗r 2 − G Mµ 1
=∣
r ∣ 2 MṘ2 + L2 R
2MR 2 + 1 2 Mṙ2 +
L2 r
2µr 2 − GMµ r
✞
☎
vgl. 2.7 und 3.3 mit L ⃗ = LR ⃗ + L
✝
⃗ r = M` R ⃗ ˙⃗R´
× + µ`⃗r × ˙⃗r´
✆
Im Schwerpunktsystem mit ˙⃗ R = 0, Ṙ = 0 gilt also
E = 1 2 µṙ2 +
L r
2µr 2 − GMµ r
Nach 2.7 entspricht das gerade der Bewegung einer Masse µ im gravitativen Zentralfeld der
(ruhenden) Masse M. Also:
Damit folgt:
r(φ) =
p
1 + e cos φ
✞
☎
✝Wahl R ⃗ = 0 ✆
⃗r 1 = ⃗r p = R ⃗ + ms
M ⃗r
|
⎫⎪ ⎬
= ms
✞ M ⃗r ☎ ̂=
✝Wahl R ⃗ = 0 ✆
⃗r 2 = ⃗r s = R ⃗ − mp
M ⃗r
|
= − mp
M ⃗r ⎪ ⎭
(hier e < 1 ̂= Ellipsenbahn)
Planet und Sonne bewegen sich also
auf Ellipsen um ihren gemeinsamen
Schwerpunkt.
Veranschaulichung:
⃗r s = − m p
µ
µ
m s
⃗r p = − m p
m s
⃗r p
00 11
00 11
00 11
00 11
00 11
Schwerpunkt
Planetenbahn
00 11
00 11
00 11
00 11
00 11
00 11
00 11
Sonnenbahn
Abbildung 3.3: Planetenbewegung als Zweikörperproblem
Bemerkung:
Wegen m s ≫ m p gilt natürlich in sehr guter Näherung ⃗r p ≈ ⃗r ; ⃗r s ≈ 0 und
damit der in 2.7 betrachtete Fall der Keplerbewegung.