Grundlagen der Mechanik und Elektrodynamik 2011 - Theoretische ...

38 4 Lagrange-Mechanik
n = 3, (r, ϑ, ϕ)-Koordinaten
s = 1: betrachte nur ϕ als Koordinate, da r, ϑ = const.
Bemerkung:
Generalisierte Koordinaten müssen weder die Dimension einer Länge haben
noch geometrisch interpretierbar sein. Damit sind auch die zugehörigen Geschwindigkeiten
verallgemeinert. So gilt im Falle des ebenen, mathematischen
Pendels z.B.:
generalisierte Koordinate ϕ ⇒ generalisierte Geschwindigkeit ˙ϕ und kinetische
Energie: T = 1 2 m ˙⃗r 2 = 1 2 m (ṙ2 + r 2 ˙ϕ 2 ) =
|
✄
✂
1
ṙ = 0
2 m r2 ˙ϕ 2
✁
4.2 Die Lagrange-Gleichungen 2. Art
Die Ausgangsfrage ist also: Wie gelingt die Herleitung von s ≤ nN skalaren Gleichungen aus
den 3N dynamischen Grundgleichungen m ¨⃗r i = F ⃗ i ; i = 1, . . . , N? Der Einfachheit halber
betrachten wir den Fall N = 1, also ein Einteilchensystem. Sei q k eine der s unabhängigen
verallgemeinerten Koordinaten, dann gilt (mit ∂V
∂t = 0):
Da gilt:
sowie:
{ }
d ∂⃗r
=
dt ∂q k
folgt aus (⋆):
⇒
⇔
m ¨⃗r = F ⃗ = −∇V ⃗ = − ∂V
∂⃗r
m ¨⃗r · ∂⃗r = − ∂V
∂q k ∂⃗r · ∂⃗r
d
dt
= − ∂V
∂q k ∂q k
{
m ˙⃗r · ∂⃗r
∂q k
}
− m ˙⃗r · d
dt
⃗r = ⃗r(q 1 , q 2 , . . . , q s , t) ⇒ ˙⃗r =
s∑
l=1
∣ · ∂⃗r
∂q k
{ ∂⃗r
∂q k
}
= − ∂V
∂q k
{ } ∂⃗r
˙q l + ∂⃗r
∂q l ∂t
✎
☞
q l und ˙q l werden als
unabhängige Gröÿen
aufgefasst!
✍
✌
{
s∑
( ) }
∂ ∂⃗r
· ˙q l + ∂ ( )
[
∂⃗r
∣ s∑
= ∂
∂q l ∂q k ∂t ∂q
l=1 } {{ } } {{ k ∂q
} k
l=1
“ ”
= ∂ ∂⃗r
= ∂
∂q k ∂q ∂q l k
( ∂⃗r
∂t )
⇒
{
d
m
dt
˙⃗r · ∂ ˙⃗r
d
dt
}
∂ ˙q k
{
1
2 m ∂ ˙⃗r
} 2
− m ∂ ˙q k 2
⇒
− m ˙⃗r · ∂ ˙⃗r
∂q k
= − ∂V
∂q k
∂ ˙⃗r 2
∂q k
= − ∂V
∂q k
(⋆)
∂ ˙⃗r = ∂⃗r
∂ ˙q k ∂q k
{ } ∂⃗r
· ˙q l + ∂⃗r
∂q l ∂t
]
= ∂ ˙⃗r
∂q k
Wegen T = 1 2 m · ˙⃗r 2 ndet man:
d
dt
( ∂T
∂ ˙q k
)
− ∂T
∂q k
= − ∂V
∂q k