Grundlagen der Mechanik und Elektrodynamik 2011 - Theoretische ...

34 3 Das Zweikörperproblem
Energieerhaltungssatz:
Für ein Teilchensystem in einem (externen) konservativen Kraftfeld (und konservativen Zentralkräften
untereinander) ist die Summe der kinetischen und potentiellen Teilchenenergien
zeitlich konstant.
Bemerkung: Es gilt auch ein Drehimpulssatz in der Form ˙⃗ ∑
L = ⃗M ext,i = M ⃗ ext und
i
die Aussage 2 〈T 〉 = 〈 ∑
( ∇ ⃗ 〉
i V i ) · ⃗r i
i
(̂= Virialsatz), wobei < . . . > ein zeitlicher Mittelwert bedeutet.
3.3 Das Zweiteilchensystem
... ist ein wichtiger Spezialfall eines Mehrteilchensystems. Hier gilt für den Schwerpunkt:
⃗R = 1 M
2∑
i=1
m i ⃗r i = m 1⃗r 1 + m 2 ⃗r 2
m 1 + m 2
Es ist zweckmäÿig den Relativvektor (Dierenzvektor) ⃗r = ⃗r 1 − ⃗r 2 einzuführen, um das
System statt mit ⃗r 1 (t), ⃗r 2 (t) äquivalent mit ⃗ R(t), ⃗r(t) zu beschreiben:
m
1
→s 1
→
→ →
r1 r
2− r1
→
R
→
s 2
⃗r 1 = ⃗ R + m 2
M ⃗r = ⃗ R + ⃗s 1
⃗r 2 = ⃗ R − m 1
M ⃗r = ⃗ R + ⃗s 2
→
r2
m
2
Abbildung 3.2: Schwerpunktsystem
Die dynamischen Grundgleichungen lauten dann:
✞
☎
M = m 1 + m 2, F ⃗ 21 = −F ⃗ 12, F ⃗ ext = F ⃗ ext,1 + F ⃗ ext,2
✝
∣ ✆
(I) m 1¨⃗r1 = F ⃗ ext,1 + F ⃗ }
∣
12
(II) m 2¨⃗r2 = F ⃗ ext,2 + F ⃗ ⊕ ⇒ M ¨⃗
Dynamische
R = Fext ⃗ Grundgleichung
21
des Schwerpunktes
sowie:
1
(I) − 1 (II) ⇒
m 1 m ¨⃗r = ¨⃗r 1 − ¨⃗r F
2 = ⃗ ext,1 F
+ ⃗ 12 F
− ⃗ ext,2
− ⃗ Dynamische
F 21
Grundgleichung
2 m 1 m 1 m 2 m 2
der Relativbewegung
Fext,1 ⃗
=∣ − ⃗ (
F ext,2 1
+ + 1 )
⃗F ext,1 F
⃗F 12 =∣ − ⃗ ext,2 F
+ ⃗ 12
∣∣ m 1 m 2 m 1 m 2 ∣∣ m 1 m 2 µ
✞
☎ ✞
☎
✝
⃗F 21 = −F ⃗ 1
12
✆
µ
✝
= 1
m 1
+ 1
m 2
⇒ µ = m 1m 2
m 1 +m 2
b= reduzierte Masse
✆