Grundlagen der Mechanik und Elektrodynamik 2011 - Theoretische ...

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66 2 Die Maxwell-Gleichungen Um die elektrische Wechselwirkung mit den anderen fundamentalen Wechselwirkungen zu vergleichen (vgl. Mechanik Kapitel 2.3.1), ist eine Energiebetrachtung hilfreich: ∫ Idee: Energie = Kraft · Weg = ⃗F · d⃗s Man hat für • die elektrostatische Wechselwirkungsenergie zweier Ladungen q = Q = e im Abstand r voneinander: W e = 1 e 2 4πε 0 r • die typische Bindungsenergie der Kernkraft mit der Lichtgeschwindigkeit c = 2, 9979 · 10 8 m s und dem Planck'schen Wirkungsquantum h = 6, 6261 · 10−34 Js: W e = h c 2π r = c r • die gravitative Energie zwischen zwei Protonen: W g = G m2 p r so dass W e W k = W e W g = e 2 4πε 0 c = α ≈ 1 137 e 2 4πε 0 Gm 2 p = 1, 23 · 10 36 (̂= Sommerfeld'sche Feinstrukturkonstante) also W g ≪ W e ≪ W k gilt. Bemerkung: Die Tatsache, dass die Gravitation trotz ihrer Schwäche im Alltag bedeutsam ist, deutet auf einen extrem guten Ladungsausgleich hin. Bereits hier lässt sich der Begri der elektrischen Felder einführen, wenn man nämlich die Coulomb-Kraft als Wirkung eines Feldes (der Ladung q) auf die Ladung Q interpretiert: ⃗F = Q E(⃗r) ⃗ mit E(⃗r) ⃗ 1 q := 4πε 0 |⃗r − ⃗r q | 3 (⃗r − ⃗r q) Die Felddenition erfolgt hier formal aus praktischen Gründen, sagt aber nichts über die tatsächliche Existenz von elektrischen Feldern aus. Das wird erst mit dem Nachweis elektromagnetischer Wellen möglich (vgl. Elektrodynamik). Mit Hilfe des Feldbegris lässt sich auch eine Integraldarstellung des Coulomb-Gesetzes angeben. Der Felduss durch eine geschlossene Fläche um eine felderzeugende Ladung q (im Ursprung) ist gegeben durch (∂V ̂= Oberäche eines Volumens V ): ∫ ∫ ⃗E · df ⃗ ⃗er =∣ ∣ 4πε 0 r 2 · ⃗e r r 2 dΩ = q ε 0 ∂V q ✞ ☎ V = V ✝ Kugel ✆ gegeben. Verallgemeinert man noch von einer auf mehrere Ladungen, so gilt gemäÿ des (experimentell gefundenen) Superpositionsprinzips: ε 0 ∫ ∂V ⃗E · df ⃗ = ∑ ∫ q i = Das ist die Integralform des Coulomb-Gesetzes. V ρ dV = Q V
2.1 Die Grundgesetze der Elektrodynamik 67 2.1.2 Das Ampère-Gesetz Oersted fand 1820, dass ein stationärer elektrischer Strom magnetische Wirkung erzeugt. Ampère formulierte diesen Befund zehn Jahre später mathematisch. Für einen unendlich langen, geraden, vom Strom ⃗ I = I⃗e z durchossenen Leiter gilt: r → B I ⃗B = µ 0 I 2 π r ⃗e ϕ; µ 0 = 4π · 10 −7 V s Am ̂= Permeabilität des Vakuums Abbildung 2.2: Magnetfeldrichtung Allgemeiner gilt für die Zirkulation des Magnetfeldes ⃗ B: I C ∫ C ⃗B · d⃗s = µ 0I 2π ∫ C 1 r r dϕ = µ 0 I Ampère-Gesetz Abb. 2.3: Zirkulation Für beliebige, ausgedehnte Ströme gilt mit der Stromdichte ⃗j: 1 µ 0 ∫∂A ∫ ⃗B · d⃗s = A ∫ ⃗j · dA ⃗ mit: I = A ⃗j · d ⃗ A Das ist die Integralform des Ampère-Gesetzes. Es zeigt sich weiter, dass für das magnetische Feld immer gilt: ∫ ⃗B · df ⃗ = 0 ∂V im Unterschied zum elektrischen Feld also keine magnetischen Ladungen existieren. 2.1.3 Das Faraday-Gesetz 1831 beobachtete Faraday, dass durch zeitlich veränderliche Ströme in benachbarten Stromkreisen ein Strom induziert wird. Faraday betrachtete drei Anordnungen: 000000000000 111111111111 000000000000 111111111111 000000000000 111111111111 000000000000 111111111111 000000000000 111111111111 000000000000 111111111111 000000000000 111111111111 000000000000 111111111111 000000000000 111111111111 000000000000 000000000000 111111111111 111111111111 → 000000000000 111111111111 000000000000 111111111111 B I → v (a) Bewegter Stromkreis im Magnetfeld 0000000000000 1111111111111 0000000000000 1111111111111 0000000000000 1111111111111 0000000000000 1111111111111 0000000000000 1111111111111 0000000000000 1111111111111 0000000000000 1111111111111 0000000000000 1111111111111 0000000000000 0000000000000 0000000000000 1111111111111 1111111111111 1111111111111 → 0000000000000 1111111111111 B → v (b) Bewegter Magnet und ruhender Stromkreis I 000000000000 111111111111 000000000000 111111111111 000000000000 111111111111 000000000000 111111111111 000000000000 111111111111 000000000000 111111111111 000000000000 111111111111 000000000000 111111111111 000000000000 111111111111 000000000000 111111111111 000000000000 111111111111 → 000000000000 111111111111 B 000000000000 111111111111 (c) Veränderliches Feld eines ruhenden Magneten und ruhender Stromkreis I Abbildung 2.4: Verschiedene Anordnungen In allen drei Fällen ieÿt im Stromkreis ein Strom I als Folge der zeitlichen Änderungen des magnetischen Flusses φ m = ∫ A ⃗ B · d ⃗ A, und Faraday fand für das den Strom erzeugende elektrische Feld
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Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ
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iv Vorbemerkung: Dieses Skript basi
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vi Inhaltsverzeichnis 4.5 Das Hamil
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Teil I Theoretische Mechanik
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1 Historische Einführung • Die M
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5 klassische Mechanik Statik Kinema
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2 Newton'sche Mechanik 2.1 Moderne
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2.2 Inertialsysteme und Galilei-Tra
Seite 19 und 20:
2.4 Einfache Anwendung der Newton's
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2.4 Einfache Anwendung der Newton's
Seite 23 und 24: 2.5 Schwingungen 15 Das Spinnennetz
Seite 25 und 26: 2.5 Schwingungen 17 Einsetzen ergib
Seite 27 und 28: 2.5 Schwingungen 19 (2) kritische D
Seite 29 und 30: 2.6 Erhaltungssätze 21 Skizze: Abb
Seite 31 und 32: 2.6 Erhaltungssätze 23 C 1 01 01 C
Seite 33 und 34: 2.7 Bewegung im konservativen Zentr
Seite 39 und 40: 3 Das Zweikörperproblem Bisher: N
Seite 41 und 42: 3.2 Erhaltungssätze für Mehrteilc
Seite 43 und 44: 3.3 Das Zweiteilchensystem 35 Für
Seite 45 und 46: 4 Lagrange-Mechanik Neben der bishe
Seite 47 und 48: 4.2 Die Lagrange-Gleichungen 2. Art
Seite 49 und 50: 4.4 Erhaltungssätze und Symmetrien
Seite 51 und 52: 4.4 Erhaltungssätze und Symmetrien
Seite 53 und 54: 4.5 Das Hamilton-Prinzip 45 Es gilt
Seite 55 und 56: 5 Der starre Körper Bisher: Jetzt:
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Seite 67 und 68: 5.5 Lagrangefunktion des Starren K
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Seite 79 und 80: 2.3 Anwendung der Sätze von Gauÿ
Seite 81 und 82: 2.5 Die Maxwell-Gleichungen 73 Beme
Seite 83 und 84: 3 Elektrostatik ∂ . . . ist chara
Seite 85 und 86: 3.3 Superpositionsprinzip und Coulo
Seite 87 und 88: 3.4 Das elektrische Potential 79 De
Seite 89 und 90: 3.5 Die mathematische Beschreibung
Seite 91 und 92: 3.6 Randwertprobleme 83 3.6.1 Verha
Seite 93 und 94: 3.6 Randwertprobleme 85 da die Wegl
Seite 95 und 96: 3.6 Randwertprobleme 87 Das Dirichl
Seite 97 und 98: 3.7 Der elektrische Dipol 89 3.7 De
Seite 99 und 100: 4 Magnetostatik ∂ . . . ist chara
Seite 101 und 102: 4.2 Direkte Lösung der Maxwell-Gle
Seite 103 und 104: 4.3 Das magnetische Vektorpotential
Seite 105 und 106: 4.4 Das Biot-Savart-Gesetz 97 Beisp
Seite 107 und 108: 4.6 Verhalten von ⃗ B(⃗r) und
Seite 109 und 110: 5 Elektrodynamik ≠ 0, so dass kei
Seite 111 und 112: 5.2 Eichtransformationen 103 5.2 Ei
Seite 113 und 114: 5.3 Erhaltungssätze in der Elektro
Seite 115 und 116: 5.4 Ein kurzer Überblick über ele
Seite 121 und 122: Teil III Spezielle Relativitätsthe
Seite 123 und 124: 1 Grundlagen Ursprüngliche Erwartu
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1.2 Die Lorentztransformation 117 D
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2 Folgerungen 2.1 Gleichzeitigkeit
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2.4 Geschwindigkeitsaddition 121
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3 Kovariante Formulierung 3.1 Der M
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3.2 Vierergeschwindigkeit, Viererim
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3.4 Der Feldstärketensor 127 Bemer
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3.5 Die Lorentz-Transformation der
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