Mathematisches Denken und Arbeiten

Wir haben oben ein grundlegendes Prinzip der Mengenlehre verwendet, nämlich das Extensionalitätsprinzip:
Zwei Mengen sind genau dann gleich, wenn sie dieselben Elemente haben.
In Quantorensprache:
∀x, y, z : ((z ∈ x) ⇐⇒ (z ∈ y)) ⇐⇒ (x = y) (4.1)
Hier sind x, y und z Mengen, denn wir argumentieren stets im Kontext der Mengenlehre. (Auch
Elemente von Mengen sind Mengen; dazu später mehr.) Das Extensionalitätsprinzip bringt zum
Ausdruck, dass eine Menge vollständig durch ihre Elemente bestimmt ist und keine weiteren
verborgenen Eigenschaften hat. Dieses Prinzip impliziert auch, dass keine Anordnung oder Reihung
der Elemente einer Menge vorliegt; eine Menge ist keine Liste ihrer Elemente. Außerdem
tritt kein Element mehrfach auf.
Die leere Menge ist durch
∅ := {x | x ≠ x}
definiert. Sie hat keine Elemente, d.h. x ∈ ∅ ist für alle x falsch. Aus dem Extensionalitätsprinzip
(4.1) folgt, dass es nur eine leere Menge gibt.
4.1 Definition. Seien A und B Mengen. Dann heißt A eine Teilmenge von B, in Zeichen:
A ⊆ B, genau dann, wenn gilt: ∀a ∈ A : a ∈ B. Gilt (A ⊆ B) ∧ (A ≠ B), dann heißt A eine
echte Teilmenge von B und man schreibt dafür A ⊂ B. Man nennt B in dieser Situation eine
(echte) Obermenge von A.
4.2 Satz. Für alle Mengen A, B und C gelten:
(i) (Reflexivität) A ⊆ A
(ii) (A ⊆ B) ∧ (B ⊆ A) ⇐⇒ (A = B)
(iii) (Transitivität) (A ⊆ B) ∧ (B ⊆ C) =⇒ (A ⊆ C)
Beweis. Wir beweisen nur (ii). Dies ist eine Äquivalenzaussage. Wir beweisen die beiden Implikationsrichtungen
separat. Zuerst die Richtung von links nach rechts: Es gelte A ⊆ B und
B ⊆ A. Es ist A = B zu zeigen. Für alle z gilt nach Voraussetzung z ∈ A =⇒ z ∈ B und
z ∈ B =⇒ z ∈ A, folglich z ∈ A ⇐⇒ z ∈ B. Nach (4.1) bedeutet dies, dass A = B gilt.
Nun zur anderen Richtung: Wir setzen A = B voraus, also ∀z : z ∈ A ⇐⇒ z ∈ B. Dann gilt
aber insbesondere ∀z : z ∈ A =⇒ z ∈ B, also A ⊆ B. Genauso folgt B ⊆ A.
Besonders wichtig sind in der Mathematik die Mengen der natürlichen, ganzen, rationalen,
reellen und komplexen Zahlen. Sie erfüllen die Inklusionen (Teilmengenbeziehungen)
N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C.
Der Zahlbegriff kann auf den einer Menge zurückgeführt werden. Wie dies geht soll erst später
in der Vorlesung skizziert werden.
Teilmengen der Koordinatenebene
R 2 = {(x, y) | x ∈ R ∧ y ∈ R}
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