Mathematisches Denken und Arbeiten

8 Vollständige Induktion
Auf Seite 5 wurde die vollständige Induktion bereits eingeführt. Wir wiederholen und vertiefen
nachfolgend dieses wichtige Beweisprinzip.
Das Zählen führt auf die Menge der natürlichen Zahlen
N = {1, 2, 3, . . . }.
Man kann natürliche Zahlen addieren, multiplizieren, potenzieren und (der Größe nach) vergleichen.
Subtraktion führt zu der Menge Z der ganzen Zahlen. Für m, n ∈ Z mit m ≤ n schreiben
wir
{m, . . . , n} := {k ∈ Z | m ≤ k ∧ k ≤ n}.
Eine Menge A heißt n-elementig, n ∈ N, wenn es eine bijektive Abbildung f : {1, . . . , n} → A
gibt; man schreibt dann |A| := n für die Anzahl der Elemente von A. Hier werden natürliche
Zahlen als Kardinalzahlen benutzt, um die Mächtigkeit einer Menge anzugeben: „A ist eine
Menge mit fünf Elementen.“. Demgegenüber steht die Verwendung natürlicher Zahlen als Ordinalzahlen:
"Das fünfte Element ist x.“.
Man kann N axiomatisch charakterisieren durch die Peano’schen Axiome. Hier spielt die
Nachfolgerabbildung S : n ↦→ n + 1 eine zentrale Rolle. Sie ist injektiv. Die wichtigste Axiom
für N ist das Induktionsaxiom.
8.1 Induktionsaxiom. Sei N ⊆ N. Es gelte 1 ∈ N. Aus n ∈ N folge, dass n + 1 ∈ N ist. Dann
ist N = N.
Die Existenz von N begründen wir später rein mengentheoterisch.
Aus dem Induktionsaxiom leitet man das Beweisprinzip der vollständigen Induktion her: Für
jedes n ∈ N liege eine Aussage A(n) vor. Diese Aussagen A(n) sind für alle n ∈ N wahr, wenn
Folgendes gezeigt wird:
Induktionsanfang A(1) ist wahr.
Induktionsschritt Wenn A(n) wahr ist, dann auch A(n + 1).
Im Induktionsschritt nennt man A(n) die Induktionsvoraussetzung und A(n + 1) die Induktionsbehauptung.
Wir behandeln Beispiele für Beweise durch vollständige Induktion.
8.2 Satz. Für alle n ∈ N ist 10 n − 1 durch 9 teilbar.
Beweis. Wegen 10 1 − 1 = 9 ist der Induktionsanfang richtig. Wir haben noch den Induktionsschritt
zu beweisen. Induktionsvoraussetzung: 10 n − 1 sei durch 9 teilbar, d.h. es gibt k ∈ N mit
9k = 10 n − 1. Wir haben die folgende Induktionsbehauptung zu zeigen: 9 teilt auch 10 n+1 − 1.
Wegen
10 n+1 − 1 = 10(10 n − 1) + (10 − 1) = 91k
ist diese wahr.
Aus diesem Satz folgen die bekannten Quersummenregeln für die Teilbarkeit durch 3 oder 9;
beispielsweise ist 12345678 durch 9 teilbar, weil ihre Quersumme 1+2+3+4+5+6+7+8 = 36
durch 9 teilbar ist.
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