Mathematisches Denken und Arbeiten

(a) Doppelte Verneinung: ¬¬A ⇐⇒ A
(b) Die Implikation ist äquivalent durch eine Verneinung und ein Oder ausdrückt werden:
(A =⇒ B) ⇐⇒ (¬A ∨ B).
In Worten: Die Aussage „Aus A folgt B.“ ist wahr genau dann, wenn gilt „A ist falsch oder
B ist wahr“.
(c) de Morgan’sche Gesetze:
¬(A ∧ B) ⇐⇒ ((¬A) ∨ (¬B)),
¬(A ∨ B) ⇐⇒ ((¬A) ∧ (¬B)).
(d) Aus den obigen Gesetzen folgt eine Formel für die Negation einer Implikation:
(
¬(A =⇒ B)
)
⇐⇒ (A ∧ ¬B). (3.2)
Aus (3.2) ergibt sich die Vorgehensweise eines Widerspruchsbeweises für A =⇒ B. Setze A
voraus und ¬B (Annahme). Zeige, dass dies auf einen Widerspruch zu einer Aussage führt, von
der bekannt ist, dass sie wahr ist. Schließe daraus, dass A∧¬B falsch ist und folglich A =⇒ B
wahr. Ein Beweis durch Widerspruch für (3.1) verläuft wie folgt: Setze voraus, dass n 2 gerade
ist; nimm an, dass n nicht gerade ist, also n = 2k + 1 für ein k ∈ Z; folgere, dass n 2 ungerade
ist; Widerspruch.
Die Standardjunktoren sind redundant. Man kann etwa aus der Negation und der Konjunktion
alle anderen Junktoren gewinnen, beispielsweise kann A ∨ B gleichwertig ersetzt werden durch
¬((¬A) ∧ (¬B)).
Andererseits sind auch andere Junktoren als die oben betrachteten möglich und nützlich. Dies
gilt beispielsweise für das negierte Und, welches in der Schaltungsalgebra als NAND bekannt
ist. In der Schaltungsalgebra verwendet man statt der Wahrheitswerte w und f in der Regel die
Schaltwerte 1 und 0 (für Ein und Aus). In diesem Gebiet ist auch die XOR-Schaltung wichtig;
diese stellt ein „entweder–oder“ dar.
Die Sprache der Aussagenlogik in der bisher vorgestellten Form ist für die Mathematik noch
nicht ausreichend. Wir benötigen Aussagen, die von Variablen x abhängen. Solche heißen Aussageformen
oder Prädikate A(x). Die Variablen gehören einem gegebenen Kontext an; meist ist
x Element einer Menge.
Um auszudrücken, dass ein Prädikat von allen x oder von mindestens einem x erfüllt wird,
benutzt man den Allquantor ∀ (=„für alle“) und den Existenzquantor ∃ (=„es gibt ein“):
∀x : A(x) und ∃x : B(x)
sind genau dann wahr, wenn für alle x (aus einer gebenen Menge) die Aussage A(x) wahr ist,
bzw., wenn es mindestens ein x gibt, für das B(x) wahr ist. Der Satz 2.2 kann hiermit wie folgt
formuliert werden:
∀n ∈ Z : (2|n) =⇒ (2|n 2 ).
Ein Beispiel für eine Verwendung des Existenzquantors ist die Formulierung einer Aussage über
die Existenz einer Quadratwurzel aus 2:
∃x : x 2 = 2.
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