Mathematisches Denken und Arbeiten

(a, b) ≠ (b, a). Ein naiver Versuch einer Paardefinition als (a, b) = {a, b} hätte diese Eigenschaften
nicht. Sind A und B nichtleere Mengen, dann ist ihr kartesisches Produkt die Menge
A × B := {(a, b) | a ∈ A ∧ b ∈ B}.
Allgemeiner definiert man kartesische Produkte mit mehreren Faktoren. Man schreibt A n für
das kartesische Produkt n hgleicher Faktoren A.
5.5 Beispiel. Sei K ⊂ R 2 die Einheitskreisscheibe. Das Produkt mit einem Intervall, z.B.
ist ein Zylinder im dreidimensionalen Raum.
K × [0, 1] ⊂ R 3 ,
Übungsaufgaben.
(i) Für Mengen A und B definiert man die symmetrische Differenz
A∆B := (A \ B) ∪ (B \ A).
Zeige oder widerlege, dass für alle Mengen A, B, C gilt:
(i) A∆B = B∆A = (A ∪ B) \ (A ∩ B)
(ii) (A∆B)∆C = A∆(B∆C)
(iii) (A∆B) ∩ C = (A ∩ C)∆(B ∩ C)
(ii) Bestimme A × B und A 2 für
A = {1, 2},
B = {a, b, c}.
(iii) Gib alle Elemente der Menge P(P({3})) an.
6 Relationen
In der Mathematik tragen Mengen in der Regel zusätzliche Struktur. Strukturen werden oft
durch Mengensysteme (Teilmengen der Potenzmenge) oder Relationen gegeben.
6.1 Definition. Eine Relation auf einer Menge A ist eine Teilmenge R ⊆ A 2 . Man schreibt kurz
xRy für (x, y) ∈ R.
6.2 Beispiele. Hier sind Beispiele für Relationen auf Zahlbereichen.
(i) Die Relation („Kleiner-Gleich“-Relation)
≤= {(x, y) ∈ R 2 | x ≤ y}
ist die Anordnung der reellen Zahlen.
(ii) Die Relation {(n, n + 1) | n ∈ N} ⊂ N 2 ist die Relation zwischen einer natürlichen Zahl
und ihrem Nachfolger.
(iii) Für R = {(x, y) ∈ R 2 | |x − y| ≤ 1} drückt xRy aus, dass x und y voneinander einen
Abstand ≤ 1 haben.
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