Mathematisches Denken und Arbeiten

Man spricht hier von einer rekursiven Definition der Summe; diese basiert auch auf dem Induktionsaxiom.
Mit einer Induktion über n beweist man das Kommutativgesetz für endliche
Summen:
n∑ n∑
a j = a ϕ(k) , wenn ϕ : N n → N n bijektiv ist.
j=1
k=1
Man nennt ϕ eine Permutation der n-elementigen Menge N n = {1, . . . , n}. Die untere Summationsgrenze
kann von 1 verschieden sein. Beim Rechnen mit endlichen Summen sind Indexverschiebungen
nützlich, z.B.
15∑
j=3
(j + 2) 2 =
Aussagen über endliche Summen beweist man oft mittels vollständiger Induktion.
8.4 Satz. Für alle n ∈ N gilt ∑ n
j=1 j = 1 2n(n + 1).
Beweis. Für n = 1 gilt die Gleichung offenbar. Der Induktionsschritt lautet
n+1
∑
j = ( ∑
n j) + (n + 1) = 1 2 n(n + 1) + (n + 1) = 1 (n + 1)(n + 2).
2
j=1
j=1
In der mittleren Gleichung wurde die Induktionsvoraussetzung benutzt.
17∑
j=5
j 2 .
9 Zahlen sind Mengen
Teilmengen von N oder R zu betrachten ist uns vertraut. Aber einzelne Zahlen wie 13 oder π
versteht man auch als Mengen. Wie geht das?
Die Idee der mengentheoretischen Konstruktion der natürlichen Zahlen ist Folgende:
0 := ∅, 1 := 0 ∪ {0}, 2 := 1 ∪ {1}, . . .
Die Nachfolgerabbildung S : n ↦→ n + 1 := n ∪ {n} ist für beliebige Mengen x definiert:
S(x) := x ∪ {x}. Eine wichtige Eigenschaft der Nachfolgerabbildung ist ihre Injektivität.
9.1 Satz. Für beliebige Mengen x und y gilt: Aus S(x) = S(y) folgt x = y.
Im nachfolgenden Beweis benutzen wir folgendes Axiom der Mengenlehre, das wir voraussetzen
wollen; es schließt widersprüchliche Mengenbildungen aus.
9.2 Fundierungsaxiom. Ist x ≠ ∅, so existiert ein y ∈ x mit x ∩ y = ∅.
Beweis. Seien x und y Mengen mit S(x) = S(y), d.h. es gilt
x ∪ {x} = y ∪ {y}.
Wir zeigen, dass x ⊆ y gilt. Sei z ∈ x. Dann ist z ∈ y ∪ {y}; also ist z ∈ y oder, da {y}
einelementig ist, z = y. Angenommen, es wäre z = y. Dann wäre x ∈ z ∪ {z}, folglich z = x
28