Mathematisches Denken und Arbeiten

(ii) Die kubische Parabel f : R → R, x ↦→ x 3 ist injektiv; denn f ′ (x) = 3x 2 > 0 für x ≠ 0
und f(−x) < f(0) < f(x) für alle x > 0.
Die Surjektivität reeller Funktionen beweist man oft mit Hilfe des Zwischenwertsatzes der
Analysis. Intervalle sind bekanntlich jene Teilmengen von R die mit zwei Punkten auch alle
Zwischenpunkte enthalten.
7.9 Satz (Zwischenwertsatz). Sei f : I → R stetig auf einem Intervall. Dann ist der Wertebereich
f(I) ebenfalls ein Intervall.
Die Definition stetiger Funktionen und ein Beweis des Zwischenwertsatzes werden in der
Vorlesung Analysis 1 gegeben.
Viele Funktionen f : R → R sind offensichtlich nicht surjektiv. Beispielsweise liegt der
Wertebereich der Exponentialfunktion in der Menge der positiven reellen Zahlen, und wegen
cos 2 x + sin 2 x = 1 sind die Wertebereich der Sinus- und der Kosinusfunktion im Intervall
[−1, 1] enthalten. Die Frage nach der Sujektivität ist dann erst dann sinnvoll, wenn man den
Bildbereich geeignet einschränkt.
7.10 Beispiel. Die Sinusfunktion sin : R → [−1, 1] ist surjektiv, denn sie ist stetig und es gelten
sin(−π/2) = −1 und sin(π/2) = 1.
7.11 Beispiel. Die Exponentialfunktion exp : R → R + , x ↦→ e x ist surjektiv; hier ist R + :=
]0, ∞[. Man zeigt zunächst, dass es zu gegebenem y > 0 ein n ∈ N gibt mit e −n < y < e n . Der
Zwischenwertsatz impliziert, dass es ein x ∈] − n, n[ gibt mit exp(x) = y.
Es ist hier – und generell in der Analysis – wichtig, mit den reellen Zahlen zu arbeiten. Beispielsweise
besitzt die Gleichung sin x = 1/2 keine rationale Lösung.
7.12 Definition. Seien f : A → B und g : B → C Abbildungen. Die durch
g ◦ f : A → C,
x ↦→ g(f(x))
definierte Abbildung heißt die Verkettung von f und g. Um die Reihenfolge in der Verkettung
zu betonen, liest man „g nach f“.
Fasst man die Abbildungen als Relationen auf, dann kann man die Verkettung auch wie folgt
schreiben:
g ◦ f = {(x, y) | ∃z ∈ B : (x, z) ∈ f ∧ (z, y) ∈ g}
(Leider ist die Verkettung nicht identisch mit der früher eingeführten Verkettung von Relationen.)
Sind f j : A → B j Abbildungen für j = 1, 2, dann ist
f 1 × f 2 : A → B 1 × B 2 ,
x ↦→ (f 1 (x), f 2 (x))
auch eine Abbildung, das kartesische Produkt von f 1 und f 2 .
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