Mathematisches Denken und Arbeiten

2.2 Satz. Sei n eine gerade Zahl. Dann ist n 2 eine gerade Zahl.
Beweis (direkt). Nach Definition gibt es eine ganze Zahl k mit n = 2k. Die Rechnung n 2 =
(2k) 2 = 2(2k 2 ) zeigt, dass n 2 = 2m gilt mit der ganzen Zahl m := 2k 2 . Somit ist n 2 gerade.
Der obige Beweis wird ein direkter Beweis genannt, weil aus der Gültigkeit der Voraussetzung
unter Verwendung bekannter Gesetze auf die Gültigkeit der Behauptung geschlossen
wird. Umfangreichere direkte Beweise bestehen aus Argumentationsketten, in denen Zwischenbehauptungen
bewiesen werden.
2.3 Satz. Seien a, b ∈ R mit a < 0 und b > 0. Dann ist ab < 0.
Der Beweis besteht aus einer kurzen direkten Argumentationskette. Diese benutzt einige
Grundregeln für das Rechnen mit reellen Zahlen, die wir erst im Anschluss an den Beweise
herausstellen werden.
Beweis. Die Zahlen (−a) und b sind positiv. Folglich gilt (−a)b > 0. Wir multiplizieren 0 =
a − a mit b und erhalten
0 = 0b = (a + (−a))b = ab + (−a)b.
Es folgt ab = −((−a)b). Wegen (−a)b > 0 folgt ab < 0.
Neben den Grundrechenarten (Rechnen in einem Körper) haben wir einige Grundregeln für
das Rechnen mit Ungleichungen benutzt: Für x ∈ R, x ≠ 0, gilt entweder x > 0 (x ist positiv)
oder −x > 0 (x ist negativ); das Produkt positiver Zahlen ist positiv.
Ein Beweis durch Widerspruch beruht auf dem Prinzip, dass eine Behauptung wahr ist,
wenn ihre Verneinung falsch ist. Von der Falschheit einer Aussage (hier: Verneinung der Behauptung)
überzeugt man sich, indem man zeigt, dass sie im Widerspruch zu Sätzen steht, deren
Korrektheit vorher bewiesen wurde.
Jede positive reelle Zahl a besitzt eine eindeutige positive Quadratwurzel √ a. Reelle Zahlen
heißen irrational, wenn sie nicht als Bruch ganzer Zahlen darstellbar sind.
2.4 Satz. √ 2 ist irrational.
Beweis (durch Widerspruch). Angenommen der Satz wäre falsch. Dann gäbe es positive ganze
Zahlen m, n mit √ 2 = m/n, d.h., 2n 2 = m 2 . Wegen n 2 < m 2 und m 2 < (2n) 2 gelten n < m
und m < 2n. Definiere
m 1 := 2n − m, n 1 := m − n.
Dies sind positive ganze Zahlen, für die m 1 < m und n 1 < n gilt. Wegen
m 1 n = (2n − m)n = 2n 2 − mn = m 2 − mn = mn 1
haben wir eine weitere Darstellung der Quadratwurzel aus 2 als Bruch: √ 2 = m 1 /n 1 . So fortfahrend
erhalten wir für j = 2, 3, . . . natürliche Zahlen m j und n j mit √ 2 = m j /n j und
m j < m j−1 . Nach spätestens j = m Schritten haben wir 0 < m j < 1. Dies steht im Widerspruch
dazu, dass es keine ganzen Zahlen k mit 0 < k < 1 gibt. Folglich ist die Annahme falsch.
Daher ist die Negation der Annahme – also die Aussage des Satzes – wahr.
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