Mathematisches Denken und Arbeiten

Im Umgang mit Faktormengen ist es sinnvoll, Repräsentanten auszuwählen, d.h. aus jeder
Äquivalenzklasse genau ein Element herauszugreifen. Im Falle von ∼ q repräsentieren die Elemente
0, 1, . . . , q − 1 alle Äquivalenzklassen:
Z q = {[0], [1], . . . , [q − 1]}
Man sagt, dass 0, 1, . . . , q − 1 ein vollständiges Repräsentantensystem bilden.
Wir befassen uns jetzt mit Ordnungen, d.h. Relationen, die reflexiv, transitiv und antisymmetrisch
sind. Eine durch ≤ geordnete Menge A heißt linear geordnet, wenn gilt:
∀x, y ∈ A : (x ≤ y) ∨ (y ≤ x).
Man fordert von einer Ordnung allgemein nicht, dass sie linear ist; dies betont man dadurch,
dass man Ordnungen auch partielle Ordnungen nennt.
6.10 Beispiele. Hier sind Beispiele für (partielle) Ordnungen auf Mengen.
(i) Die Menge R der reellen Zahlen mit ≤. Diese Ordnung ist linear, d.h. für x, y ∈ R gilt
x ≤ y oder y ≤ x.
(ii) Die Potenzmenge P = P(M) einer Menge M mit der durch die Teilmengenbeziehung
gegebenen Ordnung ⊆. Reflexivität, Antisymmetrie und Transitivität gelten: A ⊆ A; aus
A ⊆ B und B ⊆ A folgt A = B; aus A ⊆ B und B ⊆ C folgt A ⊆ C. Die Ordnung ist
i.A. nicht linear, denn für zwei Mengen A und B muss weder A ⊆ B noch B ⊆ A gelten.
(iii) Wörter ordnet man meist lexikographisch.
Man schreibt a < b für a ≤ b ∧ a ≠ b. Außerdem schreibt man a ≥ b und a > b statt b ≤ a
bzw. b < a.
Die lexikographische Ordnung leitet sich her aus folgender Ordnung eines kartesischen Produktes
C = A × B zu gegebenen Ordnungen auf den Faktoren A und B:
(a, b) ≤ C (a ′ , b ′ ) : ⇐⇒ a < A a ′ ∨ (a = a ′ ∧ b ≤ B b ′ )
Ordnungen von (kleinen endlichen) Mengen kann sich durch Diagramme mit Pfeilen veranschaulichen.
Die bisher betrachten Relationen R sind zweistellige Relationen auf einer gegebenen Menge
A, d.h. R ⊆ A 2 . Ein m-stellige Relation auf A ist eine Teilmenge R ⊆ A m , m ∈ N. Allgemeiner
betrachtet man Relationen zwischen Mengen A 1 , . . . , A m , die nicht notwendig gleich sein
müssen: R ⊆ A 1 × · · · × A m . Setzt man A = A 1 ∪ · · · ∪ A m , dann sieht man, dass so tatsächlich
keine größere Allgemeinheit erzielt wird. Elemente eines m-fachen kartesischen Produktes,
insbesondere Elemente
(a 1 , . . . , a m ) ∈ R ⊆ A 1 × · · · × A m
einer m-stelligen Relation nennt man m-Tupel.
Relationale Datenbanksysteme sind praktische Anwendungen des mathematischen Konzepts
Relation. Man spricht in diesem Zusammenhang statt von Relationen auch von Tabellen.
Übungsaufgaben.
(i) Gibt es Relationen, die sowohl Äquivalenzrelationen als auch Ordnungen sind?
20