Mathematisches Denken und Arbeiten

Mathematisches
Denken und Arbeiten
Sönke Hansen
Wintersemester 2011/12 ∗
Einführung
Der Übergang von der Schulmathematik zur (wissenschaftlichen) Mathematik bereitet erfahrungsgemäß
Studierenden große Schwierigkeiten. Das klare Formulieren von Begriffen und
Aussagen und das korrekte Beweisen von Sätzen muss erst erlernt werden. Sinn und Reiz des
Mathematikstudiums liegen gerade im Erwerb dieser Fähigkeiten.
Die Vorlesungen Lineare Algebra und Analysis stehen am Beginn des Mathematikstudiums.
In diesen wird auch in die Grundlagen des mathematischen Arbeitens eingeführt. Bedingt durch
die zu behandelnde Stofffülle ist das Tempo der Einführung in diesen Vorlesungen hoch. Die
Vorlesung „Einführung in das mathematische Denken und Arbeiten“ ist eine Pflichtveranstaltung
des Bachelor-Studienganges für das Lehramt an Gymnasien, Gesamtschulen und Berufskollegs.
Sie hat das Ziel, den Einstieg in das Mathematikstudium zu unterstützen. Die Bücher [SS09]
und [Dei10] haben eine ähnliche Zielsetzung.
1 Definition – Satz – Beweis
Wir illustrieren die in Vorlesungen übliche Darstellung von Mathematik: Es werden wahre Aussagen
gemacht mit vorher definierten Begriffen; die Wahrheit der Aussagen wird anschließend
bewiesen. Dabei beruft man sich auf bereits bewiesene Sätze und akzeptierte Grundtatsachen
(Axiome).
Unser unten zu behandelndes Beispiel betrifft eine Eigenschaft reellwertiger Funktionen
f : D → R,
x ↦→ f(x).
Die reelle Zahlenachse wird mit R bezeichnet. Der Definitionsbereich D der Funktion f ist eine
nichtleere Teilmenge von R. Manchmal schreibt man auch y = f(x) für eine Funktion f, um
damit Namen für die unabhängige und die abhängige Variable festzulegen. In diesem Abschnitt
∗ Fassung vom 24. September 2012
1

werden Schulkenntnisse über den Umgang mit Zahlen und Funktionen vorausgesetzt. Außerdem
wird elementare Mengennotation benutzt; auf den Umgang mit Mengen wird im Verlaufe der
Vorlesung noch ausführlicher eingegangen.
1.1 Definition. Eine Funktion f : D → R heißt streng monoton steigend, wenn für alle x 1 , x 2 ∈
D mit x 1 < x 2 gilt: f(x 1 ) < f(x 2 ).
Eine Funktion veranschaulicht man sich – falls möglich – durch seinen Graphen (Schaubild)
in der xy-Koordinatenebene. Die Bedeutung der obigen Definition illustrieren Skizzen von Graphen
einiger geeigneter Funktionen.
1.2 Definition. Eine Teilmenge I ⊆ R heißt ein Intervall, wenn sie mindestens zwei Punkte
enthält und wenn für a, b ∈ I und z ∈ R mit a < z < b folgt: z ∈ I.
Für reelle Zahlen a < b hat man die Intervalle
[a, b] := {x ∈ R | a ≤ x ≤ b},
]a, b[ := {x ∈ R | a < x < b}.
Das erste Intervall heißt abgeschlossen, das zweite offen. Es gibt noch weitere Intervalltypen; R
ist auch ein Intervall. Teilmengen von R, die keine Intervalle sind, heißen unzusammenhängend.
(Auch dies ist eine Definition.)
Bei der Kurvendiskussion der Schulmathematik tritt u.A. die Aufgabe auf, die Monotoniebereiche
einer gegebenen Funktion zu bestimmen. Meist untersucht man differenzierbare Funktionen.
Dann kann man die Differentialrechnung verwenden, beispielsweise das folgende Resultat.
1.3 Satz. Sei I ein Intervall. Sei f : I → R differenzierbar mit positiver Ableitung. Dann ist f
streng monoton steigend.
Wir setzen hier voraus, dass die Differenzierbarkeit und der Begriff der Ableitung bereits
eingeführt wurden. Präzise Definitionen hierfür werden in der Analysis 1 gegeben. Uns sollen
hier die aus der Schule bekannten Konzepte genügen.
Für den Beweis des Satzes müssen wir uns auf Vorarbeiten abstützen, die in einer Vorlesung
über Analysis erst nach mehreren Wochen erbracht sind.
1.4 Satz (Mittelwertsatz). Sei f : [a, b] → R differenzierbar. Dann existiert ein z ∈]a, b[ mit
f(b) − f(a)
b − a
= f ′ (z). (1.1)
Der Mittelwertsatz wird geometrisch illustriert durch Sekanten und dazu parallele Tangenten
an den Graphen der Funktion.
Beweis von Satz 1.3. Seien x 1 , x 2 ∈ I mit x 1 < x 2 . Es ist zu zeigen, dass gilt: f(x 1 ) < f(x 2 ).
Da I ein Intervall ist, gilt [x 1 , x 2 ] ⊆ I. Wir wenden den Mittelwertsatz an mit a = x 1 und
b = x 2 , und wir erhalten eine Zwischenstelle z wie in (1.1). Wegen f ′ (z) > 0 und x 1 < x 2
haben wir
f(x 2 ) − f(x 1 ) = f ′ (z)(x 2 − x 1 ) > 0.
Somit ist f(x 1 ) < f(x 2 ).
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Zur Formulierung von Satz 1.3 und zu seinem Beweis bemerken wir Folgendes. Im Satz
wurden Voraussetzungen und eine Behauptung formuliert:
Voraussetzungen a) Gegeben: Ein Intervall I und eine differenzierbare Funktion f : I → R.
b) Für alle x ∈ I gilt f ′ (x) > 0.
Behauptung f ist streng monoton steigend.
Der Satz sagt aus, dass die Behauptung wahr ist, wenn die Voraussetzungen dies sind.
Im Beweis ist eine Aussage für alle x 1 und x 2 mit bestimmten Eigenschaften zu zeigen. Dazu
geht man so vor, dass man Zahlen x 1 und x 2 mit diesen Eigenschaften fixiert und dafür den
Beweis führt. Es ist wichtig, dass über x 1 und x 2 keine weiteren Eigenschaften vorausgesetzt
werden; anderenfalls wäre der Beweis nicht allgemeingültig. Eine Formulierung wie „Seien x 1
und x 2 mit . . . “ drückt aus, dass beliebige Zahlen x 1 und x 2 mit der Eigenschaft . . . vorliegen. Im
weiteren Beweis werden keine zusätzlichen Annahmen über diese Zahlen gemacht. Der Beweis
benutzt bereits bewiesene Sätze wie den Mittelwertsatz und Rechenregeln für Ungleichungen.
Es ist üblich, das Ende eines Beweis zu markieren. Gängig ist dafür das Symbol ; ich benutze
an der Tafel ⫽.
Übungsaufgaben. Im Folgenden bezeichnet I ein Intervall und D eine nichtleere Teilmenge
von R. Zum Beweis von Aussagen über differenzierbare Funktionen darf der Mittelwertsatz 1.4
weiterhin als bewiesen vorausgesetzt werden.
(i) Sei f : I → R differenzierbar. Zeige: (a) Ist f ′ = 0, dann ist f eine konstante Funktion;
(b) ist f ′ konstant, dann existieren m, c ∈ R, sodass f(x) = mx + c für alle x ∈ I gilt.
(ii) Sei f : R → R differenzierbar mit f(0) = 0. Für die Ableitung gelte f ′ (x) < −1 für alle
x ∈ R. Zeige, dass f(x) + x > 0 für alle x < 0 gilt.
(iii) Definiere für eine Funktion f : D ⊆ R → R die Begriffe Maximumstelle und Maximum.
(iv) Sei I :=]a, b[ ein offenes Intervall. Sei f : I → R differenzierbar mit einer Maximumstelle
x m ∈ I. Zeige, dass es Stellen x l , x r ∈ I gibt mit x l < x m < x r , sodass f ′ (x l ) ≥ 0 und
f ′ (x r ) ≤ 0 gelten.
2 Beweise — richtige und falsche
Ein Satz ist eine wahre Aussage, für die ein Beweis angegeben werden kann. Häufig trifft man
Formulierungen folgender Art an.
2.1 Satz. Wenn A wahr ist, dann gilt auch B.
Beweis. Sei A wahr. Wir zeigen, dass B gilt: . . .
Hier sind A und B Aussagen, die Voraussetzung bzw. die Behauptung des Satzes. Man beachte,
dass nicht die Wahrheit von B zu zeigen ist, sondern nur die von „aus A folgt B“. Auf
Aussagen und logische Schlüsse gehen wir später systematisch ein. In diesem Abschnitt betrachten
wir Beispiele von Beweisen.
Folgende Definition ist bekannt. Eine Zahl n heißt gerade genau dann, wenn es eine ganze
Zahl k gibt mit n = 2k. Allgemeiner heißt n durch p ∈ N teilbar (in Zeichen: p|n), wenn es eine
ganze Zahl k gibt mit pk = n.
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2.2 Satz. Sei n eine gerade Zahl. Dann ist n 2 eine gerade Zahl.
Beweis (direkt). Nach Definition gibt es eine ganze Zahl k mit n = 2k. Die Rechnung n 2 =
(2k) 2 = 2(2k 2 ) zeigt, dass n 2 = 2m gilt mit der ganzen Zahl m := 2k 2 . Somit ist n 2 gerade.
Der obige Beweis wird ein direkter Beweis genannt, weil aus der Gültigkeit der Voraussetzung
unter Verwendung bekannter Gesetze auf die Gültigkeit der Behauptung geschlossen
wird. Umfangreichere direkte Beweise bestehen aus Argumentationsketten, in denen Zwischenbehauptungen
bewiesen werden.
2.3 Satz. Seien a, b ∈ R mit a < 0 und b > 0. Dann ist ab < 0.
Der Beweis besteht aus einer kurzen direkten Argumentationskette. Diese benutzt einige
Grundregeln für das Rechnen mit reellen Zahlen, die wir erst im Anschluss an den Beweise
herausstellen werden.
Beweis. Die Zahlen (−a) und b sind positiv. Folglich gilt (−a)b > 0. Wir multiplizieren 0 =
a − a mit b und erhalten
0 = 0b = (a + (−a))b = ab + (−a)b.
Es folgt ab = −((−a)b). Wegen (−a)b > 0 folgt ab < 0.
Neben den Grundrechenarten (Rechnen in einem Körper) haben wir einige Grundregeln für
das Rechnen mit Ungleichungen benutzt: Für x ∈ R, x ≠ 0, gilt entweder x > 0 (x ist positiv)
oder −x > 0 (x ist negativ); das Produkt positiver Zahlen ist positiv.
Ein Beweis durch Widerspruch beruht auf dem Prinzip, dass eine Behauptung wahr ist,
wenn ihre Verneinung falsch ist. Von der Falschheit einer Aussage (hier: Verneinung der Behauptung)
überzeugt man sich, indem man zeigt, dass sie im Widerspruch zu Sätzen steht, deren
Korrektheit vorher bewiesen wurde.
Jede positive reelle Zahl a besitzt eine eindeutige positive Quadratwurzel √ a. Reelle Zahlen
heißen irrational, wenn sie nicht als Bruch ganzer Zahlen darstellbar sind.
2.4 Satz. √ 2 ist irrational.
Beweis (durch Widerspruch). Angenommen der Satz wäre falsch. Dann gäbe es positive ganze
Zahlen m, n mit √ 2 = m/n, d.h., 2n 2 = m 2 . Wegen n 2 < m 2 und m 2 < (2n) 2 gelten n < m
und m < 2n. Definiere
m 1 := 2n − m, n 1 := m − n.
Dies sind positive ganze Zahlen, für die m 1 < m und n 1 < n gilt. Wegen
m 1 n = (2n − m)n = 2n 2 − mn = m 2 − mn = mn 1
haben wir eine weitere Darstellung der Quadratwurzel aus 2 als Bruch: √ 2 = m 1 /n 1 . So fortfahrend
erhalten wir für j = 2, 3, . . . natürliche Zahlen m j und n j mit √ 2 = m j /n j und
m j < m j−1 . Nach spätestens j = m Schritten haben wir 0 < m j < 1. Dies steht im Widerspruch
dazu, dass es keine ganzen Zahlen k mit 0 < k < 1 gibt. Folglich ist die Annahme falsch.
Daher ist die Negation der Annahme – also die Aussage des Satzes – wahr.
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Abbildung 1: Idee des Beweises von Satz 2.4
Die Idee des Beweises erkennt man an einer Skizze. Die im Beweis gemachte Annahme
bedeutet geometrisch, dass es ein Quadrat gibt, deren Seiten und Diagonale n bzw. m Längeneinheiten
lang sind. Wir wählen das Quadrat kleinstmöglich. Mit einem Zirkel teilen wir die
Diagonale in einen Teil der Länge n und einen Teil der Länge m − n. Das (kleinere) Teilstück
der Länge n 1 := m − n wird zur Seite eines neuen Quadrates (in blau). Aus elementargeometrischen
Überlegungen folgt, dass n 1 auch die Länge der hellblauen Strecke ist. Die Diagonale des
neuen Quadrates liegt auf einer Seite des Ausgangsquadrates. Die Länge m 1 dieser Diagonale
erfüllt die Gleichung n 1 + m 1 = n. Folglich ist m 1 = 2n − m. Damit hätten wir ein kleineres
Quadrat gefunden mit ebenfalls ganzzahligen Seiten- und Diagonalenlängen. Dies ist nach Wahl
des Ausgangsquadrates aber nicht möglich.
Hier erhalten wir aus der geometrischen Anschauung eine Beweisidee; der formale Beweis
des Satzes nimmt aber keinen expliziten Bezug auf diese Idee.
Ein Beweis durch vollständige Induktion beruht auf folgender Eigenschaft der Menge N =
{1, 2, 3, . . . } der natürlichen Zahlen: Ist A ⊆ N mit 1 ∈ N, sodass aus n ∈ N stets n + 1 ∈ N
folgt, dann ist A = N.
2.5 Satz. Für n = 1, 2, 3, . . . gilt 16 · 2 n > (n + 4) 2 .
Beweis (durch vollständige Induktion). Wir haben für jedes n ∈ N zu zeigen, dass die Aussage
A(n) : 16 · 2 n > (n + 4) 2
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wahr ist. Die Aussage A(1) ist gleichwertig mit 32 > 25; dies ist offenbar wahr. Falls A(n)
wahr ist, dann gilt
16 · 2 n+1 = 32 · 2 n > 2(n + 4) 2 > (n + 4) 2 + 2(n + 4) + 1 = ((n + 1) + 4) 2 ,
d.h., es gilt A(n + 1). In der vorstehenden Rechnung folgt die erste Ungleichung aus A(n) und
die zweite aus
2 < ((n + 4) − 1) 2 = (n + 4) 2 − 2(n + 4) + 1.
Zusammenfassend wurde gezeigt, dass A(n + 1) wahr ist, wenn A(n) wahr ist. Aufgrund der
unmittelbar vor dem Satz erwähnten Eigenschaft von N gilt daher A(n) für alle n ∈ N.
Durch Umbenennung von n + 4 in n können wir die Aussage des Satzes auch so formulieren:
2 n > n 2 für n ≥ 5. (2.1)
Für n = 2, 3, 4 ist 2 n > n 2 falsch.
Ein Beweis mittels vollständiger Induktion von A(n) für alle n ∈ N hat folgende Struktur:
Induktionsanfang Beweise, dass A(1) wahr ist.
Induktionsschritt Beweise: Wenn A(n) wahr ist, dann auch A(n + 1).
Der erste Index einer Induktion muss nicht n = 1 sein; im Falle von (2.1) ist es natürlich, den
Induktionsanfang bei n = 5 zu wählen.
Die Aussage des folgenden „Satzes“ ist offenbar falsch; die Argumentation im „Beweis“ ist
fehlerhaft.
2.6 “Satz”. 1 ist die größte natürliche Zahl.
„Beweis“. Sei N ∈ N die größte natürliche Zahl. Annahme: N ≠ 1. Dann ist N < N 2 . Da N 2
auch eine natürliche Zahl ist, erhalten wir einen Widerspruch. Daher ist die Annahme falsch und
somit N = 1.
Da N kein größtes Element besitzt, ist der „Beweis“ hinfällig.
Übungsaufgaben.
(i) Zeige, dass eine ganze Zahl, deren Quadrat gerade ist, selbst gerade ist.
(ii) Beweise, dass es keine ganzen Zahlen n und m mit 28m + 42n = 100 gibt.
(iii) Zeige, dass das Produkt zweier negativer reeller Zahlen positiv ist.
(iv) Für welche n ∈ N gilt 3 n > n 3 ?
(v) Zeige, dass folgende Aussage wahr ist: Wenn 0 = 1 ist, dann sind alle natürlichen Zahlen
gleich.
3 Junktoren und Quantoren
Mathematisches Argumentieren basiert auf den Regeln der Aussagen- und Prädikatenlogik.
Aussagen sind entweder wahr oder falsch; in Zeichen: w oder f. Beispielsweise ist die Aussage
„3 ist gerade.“ falsch; die Aussage „5 ist eine Primzahl.“ ist dagegen wahr. (Es soll uns hier
nicht interessieren, wie man dies einsieht.)
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Man verknüpft Aussagen mit Junktoren (logischen Verknüpfungen) zu neuen Aussagen. Die
Regeln hierfür kodiert man am Einfachsten in einer Wahrheitstabelle. Für die gebräuchlichsten
Junktoren (Standardjunktoren) gilt:
Negation Konjunktion Disjunktion Implikation Äquivalenz
A B ¬A A ∧ B A ∨ B A =⇒ B A ⇐⇒ B
w w f w w w w
w f f f w f f
f w w f w w f
f f w f f w w
Der umgangssprachliche Gebrauch von „und“ (Konjunktion) und „oder“ (Disjunktion) ist nicht
immer gleichbedeutend mit den logischen Regeln. So wird in der Alltagssprache ein „oder“ oft
als ein „entweder-oder“ verstanden; in der Mathematik ist ein „oder“ dagegen auch wahr, wenn
die dadurch verknüpften Teilaussagen beide wahr sind. Ein gutes Verständnis von Implikationen
(„wenn–dann“) ist besonders wichtig; so beachte man, dass A =⇒ B wahr sein kann, ohne
dass B wahr sein muss. Beispiel: (2|3) =⇒ (2|9), wobei p|n definiert ist als die Aussage: p
teilt n.
Liegen Aussagen A, B, . . . vor, dann kann man mit sinnvoll gebildeten Formeln neue Aussagen
bilden, z.B.:
((¬A) ∧ B) =⇒ C, ¬(A ∧ (B =⇒ C)), . . .
Um eine eindeutige Interpretation zu gewährleisten, werden Klammern verwendet. Der Wahrheitswert
solcher Aussagen hängt natürlich von den Wahrheitswerten der „Variablen“ A, B, C
ab. Eine (zusammengesetzte) Aussage heißt eine Tautologie oder allgemeingültig, wenn sie für
alle Wahrheitswerte der Aussagen, aus denen sie aufgebaut ist, wahr ist.
Gesetze sind oft als Tautologien formuliert.
3.1 Satz (Kontrapositionsgesetz). (A =⇒ B) ⇐⇒ ((¬B) =⇒ (¬A))
Ein Satz stellt eine wahre Aussage dar, für die es einen Beweis gibt. Im Falle des vorstehenden
Satzes genügt es für einen Beweis, die einschlägigen Wahrheitstafeln aufzustellen.
Das Kontrapositionsgesetz liegt der Methode des indirekten Beweises zugrunde. Der Satz 2.2
besagt für gegebenes n ∈ Z, dass Folgendes wahr ist: (2|n) =⇒ (2|n 2 ). Hierfür haben wir
einen direkten Beweis gegeben. Für den Satz
(2|n 2 ) =⇒ (2|n) (3.1)
ist ein direkter Beweis nicht so leicht zu finden; es empfiehlt sich, einen indirekten Beweis zu
wählen, d.h., die Kontraposition
(¬2|n) =⇒ (¬2|n 2 )
zu beweisen. Dies ist einfacher, denn ¬2|n heißt, dass n ungerade ist, also von der Form n =
2k + 1 mit einer ganzen Zahl k. Man rechnet dann sofort nach, dass auch n 2 ungerade ist.
Auch andere Tautologien (allgemeingültige Gesetze) kann man über Wahrheitstafeln beweisen.
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(a) Doppelte Verneinung: ¬¬A ⇐⇒ A
(b) Die Implikation ist äquivalent durch eine Verneinung und ein Oder ausdrückt werden:
(A =⇒ B) ⇐⇒ (¬A ∨ B).
In Worten: Die Aussage „Aus A folgt B.“ ist wahr genau dann, wenn gilt „A ist falsch oder
B ist wahr“.
(c) de Morgan’sche Gesetze:
¬(A ∧ B) ⇐⇒ ((¬A) ∨ (¬B)),
¬(A ∨ B) ⇐⇒ ((¬A) ∧ (¬B)).
(d) Aus den obigen Gesetzen folgt eine Formel für die Negation einer Implikation:
(
¬(A =⇒ B)
)
⇐⇒ (A ∧ ¬B). (3.2)
Aus (3.2) ergibt sich die Vorgehensweise eines Widerspruchsbeweises für A =⇒ B. Setze A
voraus und ¬B (Annahme). Zeige, dass dies auf einen Widerspruch zu einer Aussage führt, von
der bekannt ist, dass sie wahr ist. Schließe daraus, dass A∧¬B falsch ist und folglich A =⇒ B
wahr. Ein Beweis durch Widerspruch für (3.1) verläuft wie folgt: Setze voraus, dass n 2 gerade
ist; nimm an, dass n nicht gerade ist, also n = 2k + 1 für ein k ∈ Z; folgere, dass n 2 ungerade
ist; Widerspruch.
Die Standardjunktoren sind redundant. Man kann etwa aus der Negation und der Konjunktion
alle anderen Junktoren gewinnen, beispielsweise kann A ∨ B gleichwertig ersetzt werden durch
¬((¬A) ∧ (¬B)).
Andererseits sind auch andere Junktoren als die oben betrachteten möglich und nützlich. Dies
gilt beispielsweise für das negierte Und, welches in der Schaltungsalgebra als NAND bekannt
ist. In der Schaltungsalgebra verwendet man statt der Wahrheitswerte w und f in der Regel die
Schaltwerte 1 und 0 (für Ein und Aus). In diesem Gebiet ist auch die XOR-Schaltung wichtig;
diese stellt ein „entweder–oder“ dar.
Die Sprache der Aussagenlogik in der bisher vorgestellten Form ist für die Mathematik noch
nicht ausreichend. Wir benötigen Aussagen, die von Variablen x abhängen. Solche heißen Aussageformen
oder Prädikate A(x). Die Variablen gehören einem gegebenen Kontext an; meist ist
x Element einer Menge.
Um auszudrücken, dass ein Prädikat von allen x oder von mindestens einem x erfüllt wird,
benutzt man den Allquantor ∀ (=„für alle“) und den Existenzquantor ∃ (=„es gibt ein“):
∀x : A(x) und ∃x : B(x)
sind genau dann wahr, wenn für alle x (aus einer gebenen Menge) die Aussage A(x) wahr ist,
bzw., wenn es mindestens ein x gibt, für das B(x) wahr ist. Der Satz 2.2 kann hiermit wie folgt
formuliert werden:
∀n ∈ Z : (2|n) =⇒ (2|n 2 ).
Ein Beispiel für eine Verwendung des Existenzquantors ist die Formulierung einer Aussage über
die Existenz einer Quadratwurzel aus 2:
∃x : x 2 = 2.
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In der Vorlesung Analysis 1 wird bewiesen, dass die Aussage im Kontext reeller Zahlen wahr
ist, wohingegen Satz 2.4 besagt, dass sie im Kontext rationaler Zahlen falsch ist.
Man schreibt ∃! statt nur ∃, wenn man „es gibt genau ein“ sagen will, z.B.
∃!x ∈ R : x 2 = 2 ∧ x > 0.
Durch Quantoren werden die entsprechenden Variablen gebunden; sie sind außerhalb des
Konstrukts „unsichtbar“ und man kann ohne Weiteres andere Variablennamen einsetzen:
(
∃x ∈ R : x 2 = 2 ) ⇐⇒ ( ∃a ∈ R : a 2 = 2 )
In einer Formel treten oft mehrere Quantoren hintereinander auf:
Beispiel: Die Aussage
∀x ∃y : A(x, y) bedeutet ∀x : ( ∃y : A(x, y) ) .
∃x m ∈ D ∀x ∈ D : f(x) ≤ f(x m )
besagt, wenn sie wahr ist, dass f : D → R eine Maximumstelle x m hat. Vertauscht man die
Reihenfolge der beiden Quantoren, dann erhält man eine völlig andere Aussage. Ein noch einfacheres
Beispiel dafür, dass ein Vertauschen eines Allquantors mit einem Existenzquantor zu
inäquivalenten Aussagen führt, sind die Aussagen:
∀x ∈ R ∃y ∈ R : x < y
∃y ∈ R ∀x ∈ R : x < y
In der Tat, die erste Aussage ist wahr, die zweite falsch.
Zwei aufeinanderfolgende Allquantoren kann man dagegen vertauschen, ohne dabei die Aussage
zu verändern. Beispiel: Die Definition 1.1 dafür, dass eine Funktion f : D → R streng
monoton steigend heißt, kann mit Quantoren wie folgt geschrieben werden:
Dies ist gleichwertig zu
Man schreibt daher kürzer
∀x 1 ∈ D ∀x 2 ∈ D : ( x 1 < x 2 =⇒ f(x 1 ) < f(x 2 ) ) .
∀x 2 ∈ D ∀x 1 ∈ D : ( x 1 < x 2 =⇒ f(x 1 ) < f(x 2 ) ) .
∀x 1 , x 2 ∈ D : x 1 < x 2 =⇒ f(x 1 ) < f(x 2 ).
Entsprechend kann man auch aufeinanderfolgende Existenzquantoren vertauschen.
Die Negation von Quantoren erfolgt nach einfachen Rechenregeln:
(
¬∀x : A(x)
)
⇐⇒
(
∃x : ¬A(x)
)
,
(
¬∃x : A(x)
)
⇐⇒
(
∀x : ¬A(x)
)
.
Die Verneinung einer Existenzaussage ist eine Allaussage und umgekehrt.
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Eine Anwendung auf die obige Definition der strengen Monotonie liefert, dass eine Funktion
f : D → R genau dann nicht streng monoton steigend ist, wenn gilt
also, im Einklang mit der Intuition,
∃x 1 , x 2 ∈ D : ¬(x 1 < x 2 =⇒ f(x 1 ) < f(x 2 )),
∃x 1 , x 2 ∈ D : ¬(x 1 < x 2 ∧ f(x 1 ) ≥ f(x 2 )).
Will man eine Aussage beweisen, in der ein Allquantor auftritt, z.B. ∀x ∈ X : A(x), dann hat
sich folgendes Beweismuster bewährt.
Beweis: Sei x ∈ X (beliebig). Wir beweisen, dass A(x) wahr ist. . . .
Dieses Vorgehen haben wir bereits im Beweis des Satzes 1.3 kennengelernt. Wir illustrieren es
mit einem weiteren Beispiel, welches nach dem Schema Definition–Satz–Beweis aufgebaut ist.
3.2 Definition. Eine Funktion f : D → R, D ⊂ R, heißt nach oben beschränkt genau dann,
wenn gilt
∃M ∈ R ∀x ∈ D : f(x) ≤ M.
Man nennt M dann eine obere Schranke für f.
Durch Negation erhalten wir, dass f genau dann nicht nach oben beschränkt ist, wenn gilt:
∀M ∈ R ∃x ∈ D : f(x) > M (3.3)
3.3 Satz. Die Funktion f : [0, ∞[→ R, f(x) = √ x, ist nicht nach oben beschränkt.
Beweis. Sei M ∈ R beliebig. Wähle eine reelle Zahl y ≥ 0 mit M < y. Setze x = y 2 . Dann ist
x ∈ [0, ∞[ und es gilt M < y = f(x). Wir haben gezeigt, dass (3.3) gilt.
3.4 Bemerkung. Man beachte, dass hier vollständige deutsche Sätze ausgeschrieben wurden.
Dabei wurden mathematische Symbole sinnvoll in die Sprache integriert. Es ist sehr wichtig und
nützlich, diesem bewährten Vorgehen zu folgen. Oberste Priorität hat in der Mathematik (und
oft auch anderswo), dass das Gesagte und Geschriebene klar und übersichtlich ist. Der Leser ist
der Richter darüber, ob das im Einzelfall gelungen ist.
Übungsaufgaben.
(i) Definiere alle (Standard-)Junktoren mit Hilfe der Negation und der Disjunktion.
(ii) Seien A, B und C beliebige Aussagen. Welche der folgenden Aussagen sind Tautologien?
a) ((C =⇒ A) ∧ ¬A) =⇒ ¬C,
b) (B ∨ (B =⇒ A)) =⇒ A,
c) ((A =⇒ B) ∧ ¬B) ⇐⇒ (¬(¬A ∨ B) ∧ ¬B).
(iii) Formuliere Satz 2.4 mit Quantoren.
(iv) Ist die folgende Aussage eine Tautologie?
((A =⇒ B) =⇒ A) =⇒ A
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(v) Beweise die Quantorenregeln:
((∀x : A(x)) ∨ (∀x : B(x))) =⇒ (∀x : A(x) ∨ B(x))
(∃x : A(x) ∧ B(x)) =⇒ ((∃x : A(x)) ∧ (∃x : B(x)))
Sind die Implikationen sogar Äquivalenzen?
(vi) Formuliere folgende Aussagen nur mit Hilfe der Standardjunktoren und der Quantoren ∀
und ∃:
a) Es gibt genau ein x mit der Eigenschaft A(x).
b) Es gibt mindestens zwei x mit der Eigenschaft A(x).
4 Mengen
Der Schöpfer der Mengenlehre ist Georg Cantor. Er umschreibt Mengen als Zusammenfassungen
von Objekten zu einem Ganzen. Die Objekte heißen Elemente der betreffenden Menge.
In der Mathematik interessieren uns nur mathematische Objekte, keine Äpfel und Birnen. Alle
Konzepte der modernen Mathematik werden auf den Begrif der Menge zurückgeführt. Es zeigte
sich früh in der Entwicklung der Mengenlehre, dass unlimitierte Mengenbildungen wie „die
Menge aller Mengen“ zu Widersprüchen führen. Dies führte nachfolgend zur Herausbildung
der axiomatischen Mengenlehre. Das Axiomensystem von Zermelo und Fraenkel ist die heute
allgemein akzeptierte und bewährte Grundlage. Wir werden die Axiome nicht systematisch behandeln,
sondern wollen den praktischen Gebrauch der Mengenlehre in den Vordergrund stellen.
Ist x ein Element der Menge M, so schreibt man x ∈ M, anderenfalls x ∉ M. Konkrete
Mengen gibt man manchmal durch Aufzählung ihrer Elemente an, beispielsweise
M 1 = {2, −3, √ 2, π}
für eine endliche Menge bestimmter Zahlen, in der Regel aber über das sogenannte Aussonderungsprinzip
durch eine definierende Eigenschaft, z.B.
M 2 = {x ∈ R | x 3 − x > 0}.
Durch Auflösen der Ungleichung x 3 − x > 0 sieht man ein, dass M 2 auch wie folgt angegeben
werden kann:
M 2 =] − 1, 0[∪]1, ∞[.
Hier haben wir die Definitionen
für ein (offenes) Intervall und
für eine Vereinigungsmenge benutzt.
]a, b[:= {x ∈ R | (a < x) ∧ (x < b)}
A ∪ B := {x | (x ∈ A) ∨ (x ∈ B)}
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Wir haben oben ein grundlegendes Prinzip der Mengenlehre verwendet, nämlich das Extensionalitätsprinzip:
Zwei Mengen sind genau dann gleich, wenn sie dieselben Elemente haben.
In Quantorensprache:
∀x, y, z : ((z ∈ x) ⇐⇒ (z ∈ y)) ⇐⇒ (x = y) (4.1)
Hier sind x, y und z Mengen, denn wir argumentieren stets im Kontext der Mengenlehre. (Auch
Elemente von Mengen sind Mengen; dazu später mehr.) Das Extensionalitätsprinzip bringt zum
Ausdruck, dass eine Menge vollständig durch ihre Elemente bestimmt ist und keine weiteren
verborgenen Eigenschaften hat. Dieses Prinzip impliziert auch, dass keine Anordnung oder Reihung
der Elemente einer Menge vorliegt; eine Menge ist keine Liste ihrer Elemente. Außerdem
tritt kein Element mehrfach auf.
Die leere Menge ist durch
∅ := {x | x ≠ x}
definiert. Sie hat keine Elemente, d.h. x ∈ ∅ ist für alle x falsch. Aus dem Extensionalitätsprinzip
(4.1) folgt, dass es nur eine leere Menge gibt.
4.1 Definition. Seien A und B Mengen. Dann heißt A eine Teilmenge von B, in Zeichen:
A ⊆ B, genau dann, wenn gilt: ∀a ∈ A : a ∈ B. Gilt (A ⊆ B) ∧ (A ≠ B), dann heißt A eine
echte Teilmenge von B und man schreibt dafür A ⊂ B. Man nennt B in dieser Situation eine
(echte) Obermenge von A.
4.2 Satz. Für alle Mengen A, B und C gelten:
(i) (Reflexivität) A ⊆ A
(ii) (A ⊆ B) ∧ (B ⊆ A) ⇐⇒ (A = B)
(iii) (Transitivität) (A ⊆ B) ∧ (B ⊆ C) =⇒ (A ⊆ C)
Beweis. Wir beweisen nur (ii). Dies ist eine Äquivalenzaussage. Wir beweisen die beiden Implikationsrichtungen
separat. Zuerst die Richtung von links nach rechts: Es gelte A ⊆ B und
B ⊆ A. Es ist A = B zu zeigen. Für alle z gilt nach Voraussetzung z ∈ A =⇒ z ∈ B und
z ∈ B =⇒ z ∈ A, folglich z ∈ A ⇐⇒ z ∈ B. Nach (4.1) bedeutet dies, dass A = B gilt.
Nun zur anderen Richtung: Wir setzen A = B voraus, also ∀z : z ∈ A ⇐⇒ z ∈ B. Dann gilt
aber insbesondere ∀z : z ∈ A =⇒ z ∈ B, also A ⊆ B. Genauso folgt B ⊆ A.
Besonders wichtig sind in der Mathematik die Mengen der natürlichen, ganzen, rationalen,
reellen und komplexen Zahlen. Sie erfüllen die Inklusionen (Teilmengenbeziehungen)
N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C.
Der Zahlbegriff kann auf den einer Menge zurückgeführt werden. Wie dies geht soll erst später
in der Vorlesung skizziert werden.
Teilmengen der Koordinatenebene
R 2 = {(x, y) | x ∈ R ∧ y ∈ R}
12

lassen sich oft durch Skizzen veranschaulichen. Die Punkte des R 2 sind geordnete Koordinatenpaare
(x, y). Es gilt
(x 0 , y 0 ) = (x 1 , y 1 ) ⇐⇒ (x 0 = x 1 ∧ y 0 = y 1 ).
Ein wichtiges Beispiel einer echten Teilmenge der Ebene ist die (offene) Einheitskreisscheibe
K := {(x, y) ∈ R 2 | x 2 + y 2 < 1}.
Geordnete Paare und das kartesische Produkt betrachten wir im nächsten Abschnitt genauer aus
mengentheoretischer Sicht.
In der Linearen Algebra wird R 2 mit einer natürlichen Vektorraumstruktur versehen; die Addition
und Skalarmultiplikation sind komponentenweise definiert. Wir benutzen dies im Folgenden.
Eine Teilmenge G ⊂ R 2 heißt eine affine Gerade, wenn es Punkte p, q ∈ R 2 mit p ≠ q
gibt, sodass gilt
G = {tq + (1 − t)p | t ∈ R}.
Dies ist die durch die Punkte p und q verlaufende Gerade. Setzen wir v := q − p ∈ R 2 , dann ist
v ≠ 0 und wir erhalten folgende Darstellung dieser Geraden:
G = {p + tv | t ∈ R}.
Man nennt diese Darstellung eine (die?) Punktrichtungsform der Geraden G. Man kann G auch
mit geigneten a, b, d ∈ R, a 2 + b 2 = 1 in sogenannter Hesse’scher Normalform angeben:
(Wie hängen a, b, d mit p und q zusammen?)
G = {(x, y) ∈ R 2 | ax + by = d}.
Übungsaufgaben.
(i) Sind die Mengen ∅ und {∅} gleich?
(ii) Die leere Menge ist Teilmenge jeder Menge. Warum?
(iii) Beweise die Transitivität der Teilmengenbeziehung für Mengen A, B, C:
(iv) Für welche a ∈ R gilt M a ⊆ [0, ∞[, wenn
(v) Welche Mengen sind gleich?
(A ⊆ B) ∧ (B ⊆ C) =⇒ (A ⊆ C)
M a := {x ∈ R | x 3 − x > a}.
{a}, {a, a}, {a, b}, {b, a}, {a, a, b}, {a, {a, b}}
13

5 Operationen mit Mengen
Es gibt Regeln für die Bildung neuer Mengen aus gegebenen Mengen. Sind A und B Mengen,
dann hat man folgende elementaren Mengenbildungen:
A ∪ B = {x | x ∈ A ∨ x ∈ B}
A ∩ B = {x | x ∈ A ∧ x ∈ B}
A \ B = {x | x ∈ A ∧ x ∉ B}
(Vereinigung)
(Durchschnitt)
(Differenz)
Aus den Rechenregeln für Junktoren folgende entsprechende Gesetze für diese Mengenbildungen,
z.B.
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C), A ∪ ∅ = A, . . .
Die Komplementbildung A c einer Menge A ist oft nützlich. Ihre Bildung setzt voraus, dass eine
Grundmenge M vorliegt, in der A enthalten ist. Man definiert dann A c = M \ A. Hier sind
einige einfache Beispiele:
5.1 Beispiele.
(i) {1, 3, 6} ∩ {2, 6} = {6}
(ii) {1, 3, 6} ∪ {2, 6} = {1, 2, 3, 6}
(iii) {1, 2, 5, 8, 9} \ {2, 3, 5, 7, 9} = {1, 8}
(iv) {n 2 | n ∈ N} ∩ {2 n | n ∈ N} = {4 n | n ∈ N}
(v) Die Teilmengen
Q = {(x, y) | x > 0 ∧ y < 0}, K = {(x, y) | x 2 + y 2 < 1}
der Grundmenge R 2 kann man gut skizzieren. Das Gleiche gilt für Q ∪ K, Q ∩ K, Q \ K
und die Komplemente Q c und K c .
5.2 Definition. Für eine Menge A heißt
die Potenzmenge von A.
P(A) = {B | B ⊆ A}
Es gilt also B ∈ P(A) ⇐⇒ B ⊆ A. Das Potenzmengenaxiom der (axiomatischen) Mengenlehre
fordert, dass für jede Menge ihre Potenzmenge existiert. Dies ist ein sehr starkes Mengenbildungsaxiom.
Ein einfaches Beispiel ist
Es gilt stets ∅, A ∈ P(A).
P({a, b}) = {∅, {a}, {b}, {a, b}}.
5.3 Beispiel. Affine Geraden sind nichtleere Teilmengen von R 2 . Die Menge aller Geraden, die
den Nullpunkt enthalten, ist folgende Teilmenge von P(R 2 ):
RP 1 = {G | G ist eine Gerade G ⊂ R 2 , 0 ∈ G}.
14

Sie liegt dem eindimensionalen reellen projektiven Raum zugrunde; über diese wichtige mathematische
Objekt werden hier nichts weiter sagen. In der mathematischen Theorie der Computertomografie
(CT) spielt die Menge Γ aller affinen Geraden – ebenfalls eine Teilmenge von P(R 2 )
– eine zentrale Rolle. Jeder Geraden G ∈ Γ ist ein Messwert zugeordnet, nämlich die Absorption
der Röntgenstrahlung längs des durch die Gerade spezifizierten Strahles. (Die einzelnen
Messwerte sind Integrale.)
Spätestens die Potenzmenge macht deutlich, dass Mengen Elemente von Mengen sein können.
Tatsächlich ist es so, dass Elemente von Mengen stets Mengen sind; es ist aber oft im jeweiligen
Kontext unwichtig, aus welchen Elementen sie bestehen.
Der Durchschnitt und die Vereinigung von Mengen kann nicht nur für zwei Mengen, sondern
auch für endliche viele definiert werden. Mehr noch: Dank der Existenz von Potenzmengen kann
man „große“ Durchschnitte und Vereinigungen gilden. Ein Mengensystem auf einer Menge A
ist eine Teilmenge A ⊆ P(A). Man definiert zu einem solchen Mengensystem
∪A = {x | ∃B ∈ A : x ∈ B},
∩A = {x | ∀B ∈ A : x ∈ B}.
(große Vereinigung)
(großer Durchschnitt)
Was versteht man unter einem geordneten Paar (a, b)?
5.4 Satz. Für a, b, a ′ , b ′ gilt:
{{a}, {a, b}} = {{a ′ }, {a ′ , b ′ }} ⇐⇒ a = a ′ ∧ b = b ′ .
Beweis. Wir beweisen nur die Implikation „ =⇒ “. Dazu setzen wir voraus, dass
{{a}, {a, b}} = {{a ′ }, {a ′ , b ′ }} (5.1)
gilt. Im Beweis von a = a ′ ∧ b = b ′ unterscheiden wir die Fälle a ≠ b und a = b.
Fall a ≠ b: Dann gilt {a} ⊂ {a, b} (echte Teilmenge). Dann ist auch die Menge auf der rechten
Seite von (5.1) zweielementig, d.h. {a ′ } ≠ {a ′ , b ′ }, und weiter {a ′ } ⊂ {a ′ , b ′ }. Wäre {a} =
{a ′ , b ′ }, dann erhielte man den Widerspruch
{a ′ , b ′ } = {a} ⊂ {a, b} = {a ′ }.
Somit muss gelten: {a} = {a ′ } und {a, b} = {a ′ , b ′ }. Aus der ersten Gleichung folgt a = a ′ ;
wegen a ≠ b folgt aus der zweiten b = b ′ .
Fall a = b: Dann gilt {a} = {a, b} = {a ′ } = {a ′ , b ′ }. Hieraus schließt man a = b = b ′ =
a ′ .
Das geordnete Paar zweier Elemente a und b definiert man mengentheoretisch wie folgt:
(a, b) := {{a}, {a, b}}
Aus dem Satz 5.4 folgt, dass diese Definition geordneter Paare die gewünschten Eigenschaften
hat: (a, b) = (a ′ , b ′ ) gilt genau dann, wenn die Komponenten gleich sind; für a ≠ b ist auch
15

(a, b) ≠ (b, a). Ein naiver Versuch einer Paardefinition als (a, b) = {a, b} hätte diese Eigenschaften
nicht. Sind A und B nichtleere Mengen, dann ist ihr kartesisches Produkt die Menge
A × B := {(a, b) | a ∈ A ∧ b ∈ B}.
Allgemeiner definiert man kartesische Produkte mit mehreren Faktoren. Man schreibt A n für
das kartesische Produkt n hgleicher Faktoren A.
5.5 Beispiel. Sei K ⊂ R 2 die Einheitskreisscheibe. Das Produkt mit einem Intervall, z.B.
ist ein Zylinder im dreidimensionalen Raum.
K × [0, 1] ⊂ R 3 ,
Übungsaufgaben.
(i) Für Mengen A und B definiert man die symmetrische Differenz
A∆B := (A \ B) ∪ (B \ A).
Zeige oder widerlege, dass für alle Mengen A, B, C gilt:
(i) A∆B = B∆A = (A ∪ B) \ (A ∩ B)
(ii) (A∆B)∆C = A∆(B∆C)
(iii) (A∆B) ∩ C = (A ∩ C)∆(B ∩ C)
(ii) Bestimme A × B und A 2 für
A = {1, 2},
B = {a, b, c}.
(iii) Gib alle Elemente der Menge P(P({3})) an.
6 Relationen
In der Mathematik tragen Mengen in der Regel zusätzliche Struktur. Strukturen werden oft
durch Mengensysteme (Teilmengen der Potenzmenge) oder Relationen gegeben.
6.1 Definition. Eine Relation auf einer Menge A ist eine Teilmenge R ⊆ A 2 . Man schreibt kurz
xRy für (x, y) ∈ R.
6.2 Beispiele. Hier sind Beispiele für Relationen auf Zahlbereichen.
(i) Die Relation („Kleiner-Gleich“-Relation)
≤= {(x, y) ∈ R 2 | x ≤ y}
ist die Anordnung der reellen Zahlen.
(ii) Die Relation {(n, n + 1) | n ∈ N} ⊂ N 2 ist die Relation zwischen einer natürlichen Zahl
und ihrem Nachfolger.
(iii) Für R = {(x, y) ∈ R 2 | |x − y| ≤ 1} drückt xRy aus, dass x und y voneinander einen
Abstand ≤ 1 haben.
16

(iv) Die Beziehung xRy mit
R = {(x, y) ∈ R 2 | ∃k ∈ Z : y − x = 2πk}
drückt aus, dass sich die Zahlen x und y nur durch ganzzahlige Vielfache von 2π unterscheiden.
Diese Relation hat unter anderem die Eigenschaft der Transitivität, d.h. aus xRy
und yRz folgt xRz.
(v) Ist f : D → R, D ⊆ R eine Funktion, dann ist sein Graph
G(f) := {(x, y) | x ∈ D ∧ y = f(x)}
eine Relation.
(vi) Auf der Menge der Menschen gibt es die Eltern-Kind-Relation.
Folgende Struktureigenschaften von Relationen unterscheidet man: Eine Relation R auf A
heißt
(i) reflexiv, falls ∀x ∈ A : (x, x) ∈ R,
(ii) symmetrisch, falls ∀x, y ∈ A : xRy =⇒ yRx,
(iii) antisymmetrisch, falls ∀x, y ∈ A : xRy ∧ yRx =⇒ x = y,
(iv) transitiv, falls ∀x, y, z ∈ A : xRy ∧ yRz =⇒ xRz.
Ist R eine Relation auf A, dann auch ihre inverse Relation
R −1 := {(x, y) | (y, x) ∈ R}.
Offenbar ist R genau dann symmetrisch, wenn R −1 = R gilt und reflexiv genau dann, wenn sie
∆(A) := {(x, x) | x ∈ A},
die Diagonale von A, enthält. Die durch ∆(A) definierte Relation ist die Gleichheit auf A. Ist
R ′ eine weitere Relation auf A, dann ist die Komposition von R mit R ′ die Relation
R ◦ R ′ := {(x, z) ∈ A 2 | ∃y ∈ A : ((x, y) ∈ R) ∧ ((y, z) ∈ R ′ )}.
6.3 Satz. Eine Relation R ist genau dann transitiv, wenn R ◦ R ⊆ R gilt.
Beweis. Sei R transitiv. Wir zeigen: R ◦ R ⊆ R. Sei (x, y) ∈ R ◦ R. Nach Definition der
Komposition existiert z mit (x, z), (z, y) ∈ R. Aus der Transitivität von R folgt (x, y) ∈ R.
Zum Beweis der anderen Richtung setzen wir R ◦ R ⊆ R voraus. Wir zeigen, dass R transitiv
ist. Seien (x, z), (z, y) ∈ R. Dann ist (x, y) ∈ R ◦ R ⊆ R.
Die wichtigsten Typen von Relationen sind die Äquivalenzrelationen, die Ordnungen und die
Funktionen.
6.4 Definition. Eine Relation R auf einer Menge A heißt
(i) eine Äquivalenzrelation, wenn sie reflexiv, symmetrisch and transitiv ist,
(ii) eine (partielle) Ordnung, wenn sie reflexiv, antisymmetrisch and transitiv ist.
17

Wir befassen uns zunächst mit Äquivalenzrelationen. Ein Beispiel einer solchen ist in 6.2(iv)
gegeben. Man verwendet Äquivalenzrelationen, um Objekte als gleich anzusehen, falls sie sich
nur in unwesentlichen Aspekten unterscheiden. Äquivalenzrelationen werden oft mit ∼, ∼ = oder
≡ bezeichnet. Eine Äquivalenzrelation ∼⊆ A 2 auf A zerlegt A in disjunkte Teilmengen, die
Äquivalenzklassen
C a = {x ∈ A | x ∼ a}, a ∈ A.
(In [Dei10] wird C a mit a/ ∼ bezeichnet.) Wegen der Reflexivität ist C a ≠ ∅ für jedes a ∈ A.
6.5 Satz. Aus C a ∩ C b ≠ ∅ folgt C a = C b .
Beweis. Es gelte C a ∩ C b ≠ ∅. Wähle ein Element c ∈ C a ∩ C b .
Wir haben zu zeigen: C a = C b . Wir zeigen zuerst, dass C a ⊆ C b gilt. Sei dazu x ∈ C a , also
x ∼ a. Da c ∈ C a ist, gilt c ∼ a. Wegen der Symmetrie von ∼ folgt a ∼ c. Mit der Transitivität
erhält man weiter x ∼ c. Wegen c ∈ C b gilt c ∼ b. Mit der Transitivität erhalten wir schließlic
x ∼ b, also x ∈ C b .
Die Inklusion C b ⊆ C a beweist man genauso. Aus C a ⊆ C b und C b ⊆ C a folgt C a = C b .
6.6 Folgerung. Es gilt C a ∩ C b ≠ ∅ ⇐⇒ C a = C b .
Eine Äquivalenzrelation zerlegt eine Menge in nichtleere, disjunkte Teilmengen, die Äquivalenzklassen:
A = ⋃ {C a | a ∈ A}.
6.7 Definition. Eine Zerlegung (oder Partition) einer Menge A ist ein Mengensystem Z ⊂
P(A), für das gilt:
(i) ∅ ∉ Z,
(ii) ∀Z 1 , Z 2 ∈ Z : Z 1 ∩ Z 2 ≠ ∅ =⇒ Z 1 = Z 2 ,
(iii) A = ⋃ Z.
Umgekehrt definiert eine Zerlegung eine Äquivalenzrelation.
6.8 Satz. Sei Z ⊆ P(A) eine Zerlegung einer gegebenen Menge A. Dann ist
∼:= {(x, y) ∈ A 2 | ∃Z ∈ Z : x, y ∈ Z}
eine Äquivalenzrelation auf A. Die Äquivalenzklassen von ∼ sind genau die Elemente der Zerlegung
Z.
Beweis. Reflexivität: Sei x ∈ A = ∪Z. Es gibt also ein Z ∈ Z mit x ∈ Z; folglich ist x ∼ x.
Symmetrie: Es gelte x ∼ y, d.h. es gibt ein Z ∈ Z mit x, y ∈ Z. Nach Definition von ∼ (und
der Kommutativität des Junktors ∧) gilt dann auch y ∼ x. Transitivität: Es gelte x ∼ y und
y ∼ z; d.h. es gibt Z 1 , Z 2 ∈ Z, sodass x, y ∈ Z 1 und y, z ∈ Z 2 gilt. Wegen y ∈ Z 1 ∩ Z 1 ist
Z 1 ∩ Z 1 ≠ ∅, folglich Z 1 = Z 2 nach Definition von Zerlegungen. Somit ist x, z ∈ Z 1 , also
x ∼ z.
Sei Z ∈ Z. Da Z nichtleer ist existiert ein a ∈ Z. Nach Definition von Äquivalenzklassen ist
Z = C a .
18

Die Menge aller Äquivalenzklassen ist eine neue Menge, die Faktormenge (oder der Faktorraum)
von A modulo ∼:
A/ ∼:= {C a | a ∈ A} = {a/ ∼| a ∈ A}.
Für das durch ein Element a ∈ A definierte Element in A/ ∼ sind außer C a oder a/ ∼ auch
Bezeichnungen wie [a] oder ȧ gebräuchlich. Wie schreiben meist [a] ∈ A/ ∼.
6.9 Beispiele. Hier sind Beispiele für Äquivalenzrelationen, ihre Äquivalenzklassen und Faktormengen.
(i) Die im Beispiel 6.2(iv) definierte Relation
x ∼ y ⇐⇒ ∃k ∈ Z : y − x = 2πk
ist eine Äquivalenzrelation. Markiert man auf dem Umfang eines kreisförmigen Rades mit
Radius 1 einen Punkt und rollt dann das Rad die reelle Achse entlang, dann berührt der
Punkt jeden Punkt einer (durch die Lage des Punktes ausgewählten) Äquivalenzklasse
C a = {a + 2πk | k ∈ Z} =: {a} + 2πZ.
Den Faktorraum kann man mit der Kreislinie S 1 (gleich Umfangskreis des Rades) identifizieren.
Dieser rein mengentheoretisch definierten Kreislinie S 1 fehlt noch eine Zuordnung
ihrer geometrischen Eigenschaften.
(ii) Sei 1 < q ∈ Z. Auf Z erhalten wir eine Äquivalenzrelation durch
x ∼ q y ⇐⇒ ∃k ∈ Z : y − x = kq.
Man sagt auch, dass x congruent y modulo q ist. Die zu x ∈ Z gehörige Äquivalenzklasse
ist
[x] = {x + kq ∈ Z | k ∈ Z} ∈ Z q .
Dabei schreiben wir, wie es üblich ist, Z q für den Faktorraum Z/ ∼ q . Wir können auf Z q
auf folgende Weise eine Multiplikation definieren
[x] · [y] := [xy].
Diese Multiplikation können wir aber erst dann als sinnvoll anerkennen, wenn Folgendes
– die Wohldefiniertheit – gezeigt wurde:
(
([x] = [x ′ ]) ∧ ([y] = [y ′ ]) ) =⇒ ([xy] = [x ′ y ′ ])
Dass dies gilt, folgt aus
(
(x ′ = x + kq) ∧ (y ′ = y + jq) ) =⇒ (x ′ y ′ = xy + lq),
wobei l = xj + yk + kjq ∈ Z. Analog definiert man die Addition.
(iii) Auf der Menge aller Dreiecke in der Ebene hat man mit der Kongruenz und der Ähnlichkeit
zwei verschiedene Äquivalenzrelationen.
19

Im Umgang mit Faktormengen ist es sinnvoll, Repräsentanten auszuwählen, d.h. aus jeder
Äquivalenzklasse genau ein Element herauszugreifen. Im Falle von ∼ q repräsentieren die Elemente
0, 1, . . . , q − 1 alle Äquivalenzklassen:
Z q = {[0], [1], . . . , [q − 1]}
Man sagt, dass 0, 1, . . . , q − 1 ein vollständiges Repräsentantensystem bilden.
Wir befassen uns jetzt mit Ordnungen, d.h. Relationen, die reflexiv, transitiv und antisymmetrisch
sind. Eine durch ≤ geordnete Menge A heißt linear geordnet, wenn gilt:
∀x, y ∈ A : (x ≤ y) ∨ (y ≤ x).
Man fordert von einer Ordnung allgemein nicht, dass sie linear ist; dies betont man dadurch,
dass man Ordnungen auch partielle Ordnungen nennt.
6.10 Beispiele. Hier sind Beispiele für (partielle) Ordnungen auf Mengen.
(i) Die Menge R der reellen Zahlen mit ≤. Diese Ordnung ist linear, d.h. für x, y ∈ R gilt
x ≤ y oder y ≤ x.
(ii) Die Potenzmenge P = P(M) einer Menge M mit der durch die Teilmengenbeziehung
gegebenen Ordnung ⊆. Reflexivität, Antisymmetrie und Transitivität gelten: A ⊆ A; aus
A ⊆ B und B ⊆ A folgt A = B; aus A ⊆ B und B ⊆ C folgt A ⊆ C. Die Ordnung ist
i.A. nicht linear, denn für zwei Mengen A und B muss weder A ⊆ B noch B ⊆ A gelten.
(iii) Wörter ordnet man meist lexikographisch.
Man schreibt a < b für a ≤ b ∧ a ≠ b. Außerdem schreibt man a ≥ b und a > b statt b ≤ a
bzw. b < a.
Die lexikographische Ordnung leitet sich her aus folgender Ordnung eines kartesischen Produktes
C = A × B zu gegebenen Ordnungen auf den Faktoren A und B:
(a, b) ≤ C (a ′ , b ′ ) : ⇐⇒ a < A a ′ ∨ (a = a ′ ∧ b ≤ B b ′ )
Ordnungen von (kleinen endlichen) Mengen kann sich durch Diagramme mit Pfeilen veranschaulichen.
Die bisher betrachten Relationen R sind zweistellige Relationen auf einer gegebenen Menge
A, d.h. R ⊆ A 2 . Ein m-stellige Relation auf A ist eine Teilmenge R ⊆ A m , m ∈ N. Allgemeiner
betrachtet man Relationen zwischen Mengen A 1 , . . . , A m , die nicht notwendig gleich sein
müssen: R ⊆ A 1 × · · · × A m . Setzt man A = A 1 ∪ · · · ∪ A m , dann sieht man, dass so tatsächlich
keine größere Allgemeinheit erzielt wird. Elemente eines m-fachen kartesischen Produktes,
insbesondere Elemente
(a 1 , . . . , a m ) ∈ R ⊆ A 1 × · · · × A m
einer m-stelligen Relation nennt man m-Tupel.
Relationale Datenbanksysteme sind praktische Anwendungen des mathematischen Konzepts
Relation. Man spricht in diesem Zusammenhang statt von Relationen auch von Tabellen.
Übungsaufgaben.
(i) Gibt es Relationen, die sowohl Äquivalenzrelationen als auch Ordnungen sind?
20

(ii) Sei A eine Menge. Sei P ⊂ A, P ≠ ∅. Setze Q = A \ P . Zeige, dass
(P × P ) ∪ (Q × Q)
eine Äquivalenzrelation auf A ist.
(iii) Sei q ∈ N, q > 1. Definiere Z q = Z/ ∼ q wie im Beispiel 6.9(ii). Dort wurde eine die
Multiplikation [x] · [y] := [xy] eingeführt, und es wurde gezeigt, dass diese wohldefiniert
ist.
(a) Zeige, dass für [x], [y] ∈ Z q folgende Addition sinnvoll definiert ist:
[x] + [y] := [x + y] ∈ Z q .
(b) Für welche x und y gilt [x] + [y] = [0]?
(c) Aus der linearen Algebra ist der Begriff des Körpers bekannt. Unter welchen Voraussetzungen
an q ist Z q mit obiger Addition und Multiplikation ein Körper?
(d) Wie könnte man die Schreibweise im Umgang mit Elementen von Z q vereinfachen?
(iv) Für einen Punkt (x, y) ∈ R 2 der Koordinatenebene bezeichnet
‖(x, y)‖ := √ x 2 + 4y 2
einen Abstand vom Koordinatenursprung (0, 0), wobei die Koordinatenachsen unterschiedlich
skaliert sind.
(a) Zeige, dass durch
(x, y) ∼ (x ′ , y ′ ) : ⇐⇒ ‖(x, y)‖ = ‖(x ′ , y ′ )‖
auf R 2 eine Äquivalenzrelation gegeben ist.
(b) Skizziere die Äquivalenzklassen.
(c) Die Faktormenge R 2 / ∼ kann man mit dem Intervall [0, ∞[ identifizieren. Wie?
(d) Ist durch
(x, y) ≤ (x ′ , y ′ ) : ⇐⇒ ‖(x, y)‖ ≤ ‖(x ′ , y ′ )‖
eine partielle Ordnung auf R 2 gegeben?
7 Funktionen
Funktionen oder Abbildungen gehören zu den wichtigsten Objekten der Mathematik. Eine Funktion
f von einer Menge A in eine Menge B ordnet jedem Element aus A genau ein Element aus
B zu. Man schreibt:
f : A → B, x ↦→ f(x).
Man nennt A den Definitionsbereich und B den Bildbereich von f. Sind A, B ⊆ R, dann
veranschaulicht man f in vielen Fällen durch seinen Graphen.
7.1 Beispiele. Wir betrachten einige Beispiele für Abbildungen.
(i) Die Quadratfunktion f : R → R, x ↦→ x 2 . Sein Graph ist die durch y = x 2 gegebene
Normalparabel in der xy-Ebene.
21

(ii) Die positive Wurzel aus einer positiven Zahl ergibt eine Funktion g :]0, ∞[→]0, ∞[, x ↦→
√ x. Durch x ↦→ ±
√ x ist keine Funktion definiert, da die Funktionswerte nicht eindeutig
bestimmt sind.
(iii) Die Sinusfunktion sin : R → R.
(iv) f : R → R,
f(x) =
{
sin x
x
, falls x ≠ 0,
1, falls x = 0.
(v) Eine Funktion f : R → R, deren Graphen man nicht skizzieren kann: f(x) = 1 n falls
x eine rationale Zahl ungleich Null ist, die als vollständig gekürzter Bruch x = m n
mit
m, n ∈ Z, n > 0 darstellbar ist.
(vi) Sei q ∈ N, q > 1. Definiere Z q wie im Beispiel 6.9(ii). Durch f : Z → Z q , x ↦→ [x] ist
eine Funktion definiert.
(vii) Die Addition reeller Zahlen ist eine Abbildung: R 2 → R, (x, y) ↦→ x + y.
(viii) Bezeichne F die Menge aller Funktionen f : R → R und
D = {f ∈ F | f ist differenzierbar}
die Menge aller differenzierbaren Funktionen. Dann ist die Ableitung d : D → F , f ↦→ f ′
eine Abbildung.
Die Begriffe Abbildung und Funktion sind zwar synonym; es ist aber oft so, dass der Begriff
der Funktion bevorzugt verwendet wird, wenn der Bildbereich ein Körper ist. Ist der Definitionsbereich
die Menge der natürlichen Zahlen, dann spricht man meist von einer Folge statt einer
Abbildung.
Wir haben Funktionen in traditioneller Weise als Zuordnungen eingeführt. Mit dem Begriff
Zuordnung verbindet man eine Anschauung; er ist aber als Begriff von vornherein genauso wenig
definiert wie der der Funktion. Dank der Mengenlehre kann man Abbildungen und Funktionen
als gewisse Relationen definieren.
7.2 Definition. Eine Abbildung (oder Funktion) von einer Menge A in eine Menge B ist eine
nichtleere Relation f ⊆ A × B, welche rechtseindeutig ist, d.h. es gilt:
∀(x 1 , y 1 ), (x 2 , y 2 ) ∈ f : x 1 = x 2 =⇒ y 1 = y 2
Man nennt D f = {x ∈ A | ∃y ∈ B : (x, y) ∈ f} den Definitionsbereich von f. Ist D f = A,
dann heißt f eine auf A definierte Abbildung. Man schreibt f : A → B und y = f(x) bedeutet
(x, y) ∈ f.
Die mengentheoretische Definition einer Funktion macht also keinen Unterschied zwischen
einer Funktion und ihrem Graphen (= Teilmenge von A × B).
7.3 Beispiele. Die folgenden Abbildungen sind fundamental.
(i) Die identische Abbildung id A : A → A, x ↦→ x ist durch die Diagonale id A = {(x, x) |
x ∈ A} gegeben.
22

(ii) Die Projektion p 1 : A × B → B, (a, b) ↦→ a auf den ersten Faktor eines kartesischen
Produktes ist wie folgt gegeben:
p 1 = {((a, b), a) | a ∈ A, b ∈ B} ⊆ (A × B) × A.
Analog ist die Projektion auf den zweiten Faktor definiert.
Für Abbildungen f : A → B sind folgende Fragen von Interesse. Wir ein Wert höchstens
einmal angenommen? Ist jedes Element in B Wert von fß
7.4 Definition. Eine Abbildung f : A → B heißt injektiv, wenn sie linkseindeutig ist, d.h.,
wenn gilt
∀x 1 , x 2 ∈ A : f(x 1 ) = f(x 2 ) =⇒ x 1 = x 2 .
Sie heißt surjektiv, wenn gilt
∀b ∈ B∃a ∈ A : b = f(a).
Sie heißt bijektiv, wenn sie injektiv und surjektiv ist.
Man nennt f(A) := {f(x) | x ∈ A} den Wertebereich von f : A → B. Hiermit gilt: f ist
genau dann surjektiv, wenn f(A) = B gilt.
7.5 Beispiele. (i) Projektionen sind surjektiv. Die Projektion p A : A × B → A, (a, b) ↦→ a
ist genau dann injektiv, wenn B einelementig ist.
(ii) Die Identität ist bijektiv.
(iii) Die Funktion f : N → N, n ↦→ n 2 ist injektiv, aber nicht surjektiv.
(iv) Die Funktion f : Z → Z, n ↦→ n 2 ist weder injektiv noch surjektiv.
(v) Die Funktion f : [0, 2] → [0, 4], x ↦→ x 2 ist bijektiv. Die Surjektivität folgt aus der
Tatsache, dass man aus jeder positiven reellen Zahl eine Wurzel ziehen kann.
Für reellwertige Funktionen stellt die Analysis Hilfsmittel bereit für die Untersuchung von
Funktionen.
7.6 Satz. Streng monoton steigende (oder fallende) Funktionen sind injektiv.
Beweis. Sei f : D ⊆ R → R streng monoton steigend. Seien x 1 , x 2 ∈ D mit f(x 1 ) = f(x 2 ).
Zu zeigen ist: x 1 = x 2 . Annahme x 1 ≠ x 2 . Dann ist x 1 < x 2 oder x 2 < x 1 . Ist x 1 < x 2 ,
dann ist f(x 1 ) < f(x 2 ) wegender strengen Monotonie. Dies widerspricht der Voraussetzung
f(x 1 ) = f(x 2 ). Ebenso führt x 2 < x 1 auf einen Widerspruch. Somit ist die Annahme falsch,
und der Satz ist bewiesen.
Zusammen mit dem Satz 1.3 erhalten wir:
7.7 Folgerung. Sei I ein Intervall. Sei f : I → R differenzierbar mit (überall) positiver Ableitung.
Dann ist f injektiv.
7.8 Beispiele. (i) Die Exponentialfunktion exp : R → R, x ↦→ e x ist injektiv, denn (e x ) ′ =
e x > 0.
23

(ii) Die kubische Parabel f : R → R, x ↦→ x 3 ist injektiv; denn f ′ (x) = 3x 2 > 0 für x ≠ 0
und f(−x) < f(0) < f(x) für alle x > 0.
Die Surjektivität reeller Funktionen beweist man oft mit Hilfe des Zwischenwertsatzes der
Analysis. Intervalle sind bekanntlich jene Teilmengen von R die mit zwei Punkten auch alle
Zwischenpunkte enthalten.
7.9 Satz (Zwischenwertsatz). Sei f : I → R stetig auf einem Intervall. Dann ist der Wertebereich
f(I) ebenfalls ein Intervall.
Die Definition stetiger Funktionen und ein Beweis des Zwischenwertsatzes werden in der
Vorlesung Analysis 1 gegeben.
Viele Funktionen f : R → R sind offensichtlich nicht surjektiv. Beispielsweise liegt der
Wertebereich der Exponentialfunktion in der Menge der positiven reellen Zahlen, und wegen
cos 2 x + sin 2 x = 1 sind die Wertebereich der Sinus- und der Kosinusfunktion im Intervall
[−1, 1] enthalten. Die Frage nach der Sujektivität ist dann erst dann sinnvoll, wenn man den
Bildbereich geeignet einschränkt.
7.10 Beispiel. Die Sinusfunktion sin : R → [−1, 1] ist surjektiv, denn sie ist stetig und es gelten
sin(−π/2) = −1 und sin(π/2) = 1.
7.11 Beispiel. Die Exponentialfunktion exp : R → R + , x ↦→ e x ist surjektiv; hier ist R + :=
]0, ∞[. Man zeigt zunächst, dass es zu gegebenem y > 0 ein n ∈ N gibt mit e −n < y < e n . Der
Zwischenwertsatz impliziert, dass es ein x ∈] − n, n[ gibt mit exp(x) = y.
Es ist hier – und generell in der Analysis – wichtig, mit den reellen Zahlen zu arbeiten. Beispielsweise
besitzt die Gleichung sin x = 1/2 keine rationale Lösung.
7.12 Definition. Seien f : A → B und g : B → C Abbildungen. Die durch
g ◦ f : A → C,
x ↦→ g(f(x))
definierte Abbildung heißt die Verkettung von f und g. Um die Reihenfolge in der Verkettung
zu betonen, liest man „g nach f“.
Fasst man die Abbildungen als Relationen auf, dann kann man die Verkettung auch wie folgt
schreiben:
g ◦ f = {(x, y) | ∃z ∈ B : (x, z) ∈ f ∧ (z, y) ∈ g}
(Leider ist die Verkettung nicht identisch mit der früher eingeführten Verkettung von Relationen.)
Sind f j : A → B j Abbildungen für j = 1, 2, dann ist
f 1 × f 2 : A → B 1 × B 2 ,
x ↦→ (f 1 (x), f 2 (x))
auch eine Abbildung, das kartesische Produkt von f 1 und f 2 .
24

7.13 Beispiel. Die Addition zweier reellwertiger Funktionen f, g : R → R kann man als eine
Verkettung schreiben:
(f + g)(x) = (a ◦ (f × g)(x) = f(x) + g(x),
wobei a : R 2 → R, (x, y) → x + y die Addition von Zahlen ist.
Injektivität und Surjektivität einer Funktion kann man als Aussagen über die Lösbarkeit von
Gleichungen interpretieren. Sie sind andererseits notwendige Voraussetzungen für die Existenz
von Umkehrfunktionen.
7.14 Satz. Seien f : A → B und g : B → A mit g ◦f = id A . Dann ist f injektiv und g surjektiv.
Beweis. Injektivität von f: Seien x 1 , x 2 ∈ A mit f(x 1 ) = f(x 2 ). Dann folgt x 1 = x 2 aus:
x 1 = id A (x 1 ) = (g ◦ f)(x 1 ) = g(f(x 1 )) = g(f(x 2 )) = · · · = x 2 .
Surjektivität von g: Sei a ∈ A. Setze b = f(a) ∈ B. Dann ist a = g(b), denn g(b) = (g◦f)(a) =
a.
7.15 Definition. Sei f : A → B eine Abbildung. Ist g : B → A eine Abbildung mit g ◦f = id A
und f ◦ g = id B , dann heißt g eine Umkehrabbildung von f.
7.16 Beispiel. Der natürliche Logarithmus ln : R + → R ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion.
7.17 Satz. Eine Abbildung f : A → B besitzt genau dann eine Umkehrabbildung wenn f
bijektiv ist. Die Umkehrabbildung ist eindeutig und wird mit f −1 bezeichnet.
Beweis. Aus Satz 7.14 folgt die Bijektivität von f, falls f eine Umkehrabbildung besitzt. Zum
Beweis der anderen Richtung der Äquivalenz sei f bijektiv. Die Relation
f −1 := {(y, x) ∈ B × A | (x, y) ∈ f}
ist rechtseindeutig, da f linkseindeutig (injektiv) ist. Da f surjektiv ist, existiert zu jedem y ∈ B
ein x ∈A mit y = f(x), also (y, x) ∈ f −1 . Es folgt, dass f −1 eine auf B definierte Abbildung
ist. Weiter gilt
denn f ist injektiv. Schließlich gilt noch
da f surjektiv und rechtseindeutig ist.
f −1 ◦ f = {(x, y) | ∃z ∈ B : (x, z) ∈ f ∧ (y, z) ∈ f}
= {(x, x) | x ∈ A} = id A ,
f ◦ f −1 = {(x, y) | ∃z ∈ B : (z, x) ∈ f ∧ (z, y) ∈ f}
= {(y, y) | y ∈ C} = id B ,
25

8 Vollständige Induktion
Auf Seite 5 wurde die vollständige Induktion bereits eingeführt. Wir wiederholen und vertiefen
nachfolgend dieses wichtige Beweisprinzip.
Das Zählen führt auf die Menge der natürlichen Zahlen
N = {1, 2, 3, . . . }.
Man kann natürliche Zahlen addieren, multiplizieren, potenzieren und (der Größe nach) vergleichen.
Subtraktion führt zu der Menge Z der ganzen Zahlen. Für m, n ∈ Z mit m ≤ n schreiben
wir
{m, . . . , n} := {k ∈ Z | m ≤ k ∧ k ≤ n}.
Eine Menge A heißt n-elementig, n ∈ N, wenn es eine bijektive Abbildung f : {1, . . . , n} → A
gibt; man schreibt dann |A| := n für die Anzahl der Elemente von A. Hier werden natürliche
Zahlen als Kardinalzahlen benutzt, um die Mächtigkeit einer Menge anzugeben: „A ist eine
Menge mit fünf Elementen.“. Demgegenüber steht die Verwendung natürlicher Zahlen als Ordinalzahlen:
"Das fünfte Element ist x.“.
Man kann N axiomatisch charakterisieren durch die Peano’schen Axiome. Hier spielt die
Nachfolgerabbildung S : n ↦→ n + 1 eine zentrale Rolle. Sie ist injektiv. Die wichtigste Axiom
für N ist das Induktionsaxiom.
8.1 Induktionsaxiom. Sei N ⊆ N. Es gelte 1 ∈ N. Aus n ∈ N folge, dass n + 1 ∈ N ist. Dann
ist N = N.
Die Existenz von N begründen wir später rein mengentheoterisch.
Aus dem Induktionsaxiom leitet man das Beweisprinzip der vollständigen Induktion her: Für
jedes n ∈ N liege eine Aussage A(n) vor. Diese Aussagen A(n) sind für alle n ∈ N wahr, wenn
Folgendes gezeigt wird:
Induktionsanfang A(1) ist wahr.
Induktionsschritt Wenn A(n) wahr ist, dann auch A(n + 1).
Im Induktionsschritt nennt man A(n) die Induktionsvoraussetzung und A(n + 1) die Induktionsbehauptung.
Wir behandeln Beispiele für Beweise durch vollständige Induktion.
8.2 Satz. Für alle n ∈ N ist 10 n − 1 durch 9 teilbar.
Beweis. Wegen 10 1 − 1 = 9 ist der Induktionsanfang richtig. Wir haben noch den Induktionsschritt
zu beweisen. Induktionsvoraussetzung: 10 n − 1 sei durch 9 teilbar, d.h. es gibt k ∈ N mit
9k = 10 n − 1. Wir haben die folgende Induktionsbehauptung zu zeigen: 9 teilt auch 10 n+1 − 1.
Wegen
10 n+1 − 1 = 10(10 n − 1) + (10 − 1) = 91k
ist diese wahr.
Aus diesem Satz folgen die bekannten Quersummenregeln für die Teilbarkeit durch 3 oder 9;
beispielsweise ist 12345678 durch 9 teilbar, weil ihre Quersumme 1+2+3+4+5+6+7+8 = 36
durch 9 teilbar ist.
26

Die leere Menge und die n-elementigen Mengen (n ∈ N) heißen endliche Mengen. Die leere
Menge hat keine Elemente; man setzt daher |∅| = 0.
8.3 Satz. Sei A eine endliche Menge. Dann gilt |P(A)| = 2 |A| .
Beweis. Wegen P(∅) = {∅} gilt |P(∅)| = 1 = 2 0 . Ist f : A → B bijektiv, dann ist auch
F : P(A) → P(B),
M ↦→ f(M)
eine bijektive Abbildung; denn durch N ↦→ f −1 (N) ist die Umkehrabbildung von F gegeben.
(Wir setzen f(∅) = ∅.) Da die Verkettung bijektiver Abbildungen wieder bijektiv ist, genügt es
zu zeigen, dass für alle n ∈ N gilt:
E(n) : |P({1, . . . , n})| = 2 n .
Induktionsanfang: P({1}) = {∅, {1}} ist 2-elementig. Somit ist E(1) wahr.
Induktionsschritt: Setze voraus, dass E(n) wahr ist. Dann gibt es eine bijektive Abbildung
f : {1, . . . , 2 n } → P({1, . . . , n}).
Wir haben folgende Induktionsbehauptung zu zeigen:
E(n + 1) : |P({1, . . . , n + 1})| = 2 n+1 .
Zur Abkürzung setzen wir N m := {1, . . . , m}. Sei M ∈ P(N n+1 ), d.h. M ⊆ N n+1 . Falls
n + 1 /∈ M, dann ist M ∈ P(N n ). Falls n + 1 ∈ M, dann ist M = M ′ ∪ {n + 1} mit
M ′ := M \ {n + 1} ∈ P(N n ). Durch
g(2k) = f(k),
g(2k − 1) = f(k) ∪ {n + 1},
k ∈ {1, . . . , 2 n }, wird eine Abbildung g : N 2 n+1 → P(N n+1 ) definiert. Nach obigen Überlegungen,
und weil f surjektiv ist, ist g surjektiv. Da f injektiv ist, ist auch g injektiv. Damit ist
die Induktionsbehauptung bewiesen und der Induktionsbeweis komplett.
Endliche Summen von reellen Zahlen a j ∈ R führt man auf die Addition von je zwei Zahlen
zurück:
a 1 + a 2 + a 3 := (a 1 + a 2 ) + a 3 ,
a 1 + a 2 + a 3 + a 4 := (a 1 + a 2 + a 3 ) + a 4 = ((a 1 + a 2 ) + a 3 ) + a 4 ,
a 1 + a 2 + · · · + a n := (a 1 + · · · + a n−1 ) + a n .
Man verwendet meist das Summensymbol:
n∑
a j := ( n−1 ∑ )
a j + an ,
j=1 j=1
1∑
a j := a 1 .
j=1
27

Man spricht hier von einer rekursiven Definition der Summe; diese basiert auch auf dem Induktionsaxiom.
Mit einer Induktion über n beweist man das Kommutativgesetz für endliche
Summen:
n∑ n∑
a j = a ϕ(k) , wenn ϕ : N n → N n bijektiv ist.
j=1
k=1
Man nennt ϕ eine Permutation der n-elementigen Menge N n = {1, . . . , n}. Die untere Summationsgrenze
kann von 1 verschieden sein. Beim Rechnen mit endlichen Summen sind Indexverschiebungen
nützlich, z.B.
15∑
j=3
(j + 2) 2 =
Aussagen über endliche Summen beweist man oft mittels vollständiger Induktion.
8.4 Satz. Für alle n ∈ N gilt ∑ n
j=1 j = 1 2n(n + 1).
Beweis. Für n = 1 gilt die Gleichung offenbar. Der Induktionsschritt lautet
n+1
∑
j = ( ∑
n j) + (n + 1) = 1 2 n(n + 1) + (n + 1) = 1 (n + 1)(n + 2).
2
j=1
j=1
In der mittleren Gleichung wurde die Induktionsvoraussetzung benutzt.
17∑
j=5
j 2 .
9 Zahlen sind Mengen
Teilmengen von N oder R zu betrachten ist uns vertraut. Aber einzelne Zahlen wie 13 oder π
versteht man auch als Mengen. Wie geht das?
Die Idee der mengentheoretischen Konstruktion der natürlichen Zahlen ist Folgende:
0 := ∅, 1 := 0 ∪ {0}, 2 := 1 ∪ {1}, . . .
Die Nachfolgerabbildung S : n ↦→ n + 1 := n ∪ {n} ist für beliebige Mengen x definiert:
S(x) := x ∪ {x}. Eine wichtige Eigenschaft der Nachfolgerabbildung ist ihre Injektivität.
9.1 Satz. Für beliebige Mengen x und y gilt: Aus S(x) = S(y) folgt x = y.
Im nachfolgenden Beweis benutzen wir folgendes Axiom der Mengenlehre, das wir voraussetzen
wollen; es schließt widersprüchliche Mengenbildungen aus.
9.2 Fundierungsaxiom. Ist x ≠ ∅, so existiert ein y ∈ x mit x ∩ y = ∅.
Beweis. Seien x und y Mengen mit S(x) = S(y), d.h. es gilt
x ∪ {x} = y ∪ {y}.
Wir zeigen, dass x ⊆ y gilt. Sei z ∈ x. Dann ist z ∈ y ∪ {y}; also ist z ∈ y oder, da {y}
einelementig ist, z = y. Angenommen, es wäre z = y. Dann wäre x ∈ z ∪ {z}, folglich z = x
28

oder x ∈ z. Im Falle z = x widerspricht die Menge M := {x} = {z} dem Fundierungsaxiom,
denn z ∈ x ∩ M. Im Falle x ∈ z widerspricht die Menge M := {x, z} dem Fundierungsaxiom,
denn z ∈ x ∩ M und x ∈ z ∩ M. Daher ist die Annahme falsch, und es gilt z ∈ y. Entsprechend
folgt y ⊆ x. Somit gilt schließlich x = y.
Wegen x ∈ S(x) gibt es keine Menge x, für die S(x) = ∅ gilt.
Ganze Zahlen definiert man als Äquivalenzklassen von Paaren natürlicher Zahlen und rationale
Zahlen als Äquivalenzklassen gewisser Paare ganzer Zahlen. Die mengentheoretische
Konstruktion der reellen Zahlen ist subtiler.
10 Mathematisches Denken und Arbeiten
Schreibt man mathematische Gedanken und Resultate auf, so ist es unabdingbar, dass man sich
klar ausdrückt. So klar, dass ein Leser die Argumentation nachvollziehen kann. Dies bedeutet,
dass die verwendeten Begriffe erklärt werden und dass die Argumentationskette logisch aufgebaut
ist.
Standardbegriffe und Notationen, die häufig vorkommen, müssen in aller Regel nicht erklärt
werden. Dies gilt z.B. für die Zahlbereiche Z, Q, R und C; im Falle der natürlichen Zahlen, muss
man allerdings sagen ob 0 ∈ N gelten soll oder nicht; der Gebrauch ist hier nicht einheitlich.
Die Notation
f : M → N, x ↦→ f(x)
für eine Funktion (oder Abbildung) ist auch allgemein üblich und Bedarf keiner Erklärung. Wir
haben (andeutungsweise) gesehen, wie Zahlen und Funktionen mengentheoretisch verstanden
werden. Für den alltäglichen Umgang mit diesen Konzepten spielt dies keine Rolle; aber es
illustriert die Tatsache, dass die Mengenlehre Grundlage der modernen Mathematik ist.
Neue oder weniger geläufige Begriffe müssen explizit definiert werden. Beispielsweise haben
wir in den Definitionen 1.1 und 3.2 Eigenschaften von Funktionen eingeführt, nämlich streng
monoton steigend bzw. nach oben beschränkt. Diese Definitionen sind durch Anschauung motiviert.
Eine geometrische Eigenschaft einer Funktion ist ihre Krümmung. Wie definiert man die
Krümmung? Anschaulich ist dies klar: Liegt jede Sekante des Graphen oberhalb des Graphen,
dann heißt die Funktion nach links gekrümmt oder konvex. Die Sekante zwischen zwei Punkten
P 0 = (x 0 , y 0 ) und P 1 = (x 1 , y 1 ) des Graphen ist die Verbindungsstrecke zwischen diesen
Punkten:
[P 0 , P 1 ] = {(x, y) | x 0 ≤ x ≤ x 1 ∧ y = x − x 0
x 1 − x 0
y 1 + y 0 }
= {(1 − t)P 0 + tP 1 ∈ R 2 | 0 ≤ t ≤ 1}
Jetzt können wir eine präzise Definition aussprechen.
10.1 Definition. Sei f : I → R eine auf einem Intervall I ⊆ R definierte Funktion. Dann heißt
f nach strikt konvex, wenn für alle x 0 , x 1 ∈ I mit x 0 < x 1 gilt:
∀0 < t < 1 : f((1 − t)x 0 + tx 1 ) < (1 − t)f(x 0 ) + tf(x 1 ).
29

10.2 Satz. Sei f : I → R eine auf einem Intervall I ⊆ R 2-mal differenzierbare Funktion. Wenn
f ′′ > 0 ist, dann ist f strikt konvex.
Nach Berechnung der zweiten Ableitungen schließt man sofort, dass die Funktionen f(x) =
x 2 , f(x) = e x und f(x) = cosh x strikt konvex sind.
Beweis. Es gelte f ′′ (x) > 0 für alle x ∈ I. Dann ist f ′ streng monoton steigend nach Satz 1.3.
Seien x 0 < x 1 aus I und 0 < t < 1. Setze x m = (1−t)x 0 +tx 1 und P j = (x j , y j ), y j = f(x j ).
Es gelten
Wir haben Folgendes zu zeigen:
t = x m − x 0
x 1 − x 0
,
1 − t = x 1 − x m
x 1 − x 0
.
y m < (1 − t)y 0 + ty 1 .
Für die Steigungen m 0 und m 1 der Sekanten [P 0 , P m ] und [P m , P 1 ] gilt nach dem Mittelwertsatz
1.4 und wegen der Monotonie von f
m 0 = y m − y 0
x m − x 0
= f ′ (z 0 ) < f ′ (z 1 ) = y 1 − y m
x 1 − x m
= m 1
mit gewissen Zwischenstellen x 0 < z 0 < x m < z 1 < x 1 . Die Steigung der Sekante [P 0 , P 1 ] ist
m = y 1 − y 0
x 1 − x 0
= tm 0 + (1 − t)m 1 .
Wegen m 0 < m 1 folgt m 0 < m < m 1 . Damit folgt
y m = m 0 (x m − x 0 ) + y 0 < m(x m − x 0 ) + y 0 = mt(x 1 − x 0 ) + y 0 = t(y 1 − y 0 ) + y 0 .
Dies war zu zeigen.
Literatur
[Dei10] O. Deiser, Grundbegriffe der wissenschaftlichen Mathematik, Springer, Heidelberg,
2010.
[SS09]
H. Schichl und R. Steinbauer, Einführung in das mathematische Arbeiten, Springer,
Heidelberg, 2009.
30