Formelsammlung zur Vorlesung Bodenmechanik I - IBF

KIT – Universität des Landes Baden-Württemberg und
nationales Forschungszentrum in der Helmholtz-Gemeinschaft
INSTITUT FÜR BODENMECHANIK UND FELSMECHANIK
Univ. Prof. Dr. - Ing. habil. Theodoros Triantafyllidis
Formelsammlung zur Vorlesung
Bodenmechanik I
SS 2011
Alle Rechte der Vervielfältigung vorbehalten !
www.kit.edu
Ausgearbeitet von: D. Rebstock
Überarbeitet von: P. Kudella
Version: 05.04.2011

Inhalt SS 2011
Inhaltsverzeichnis
1. DARSTELLUNG VON BOHRPROFILEN ................................................................................................2
2. BODENKLASSIERUNG ..............................................................................................................................4
3. PORENANTEIL, WASSERGEHALT, WICHTEN...................................................................................5
4. KONSISTENZ, LAGERUNGSDICHTE.....................................................................................................6
5. DURCHSTRÖMUNG, DURCHLÄSSIGKEIT...........................................................................................7
6. VERTIKALE ZUSAMMENDRÜCKUNG..................................................................................................8
7. SPANNUNGSAUSBREITUNG ..................................................................................................................10
8. SETZUNGSBERECHNUNG......................................................................................................................11
9. KONSOLIDIERUNG ..................................................................................................................................12
10. SCHERFESTIGKEIT .................................................................................................................................13
11. ERDDRUCK.................................................................................................................................................14
12. GELÄNDEBRUCH .....................................................................................................................................17
13. GLEITEN UND GRUNDBRUCH..............................................................................................................21
Diese Formelsammlung wurde sorgfältig überprüft. Sie ersetzt aber nicht das sorgfältige Studium der
grundsätzlichen Zusammenhänge !!!
Eventuelle Druckfehler oder Unklarheiten bitte melden an Peter.Kudella@kit.edu.
Formelsammlung Bodenmechanik I 1

1. Darstellung von Bohrprofilen SS 2011
1. Darstellung von Bohrprofilen
• Vorschriften:
DIN 4023 (Feb. 2006) Baugrund- und Wasserbohrungen, zeichnerische Darstellung der Ergebnisse
DIN 18196 (Juni 2006) Bodenklassifikation für bautechnische Zwecke und Methoden zum Erkennen
von Bodengruppen
• Symbole und Farben wichtiger Bodenarten
Benennung Kurzzeichen Zeichen
Bodenart Beimengung Bodenart Beimengung Bodenart Beimengung
Kies kiesig G g
Grobkies grobkiesig gG gg
Mittelkies mittelkiesig mG mg
Feinkies feinkiesig fG fg
Sand sandig S s
Grobsand grobsandig gS gs
Mittelsand mittelsandig mS ms
Feinsand feinsandig fS fs
Schluff schluffig U u
Ton tonig T t
Torf, Humus torfig, humos H h
Mudde
(Faulschlamm)
- F -
org. Beimeng. - o
Auffüllung - A -
Steine steinig X x
Blöcke mit Blöcken Y y
Fels allgemein - Z -
Fels verwittert - Zv -
Flächenfarbe
hellgelb
orangegelb
Formelsammlung Bodenmechanik I 2
oliv
violett
dunkelbraun
helllila
-
-
hellgelb
hellgelb
dunkelgrün
• Symbole geologisch typischer Bodenarten
Benennung Kurzzeichen Zeichen Flächenfarbe
Mutterboden Mu
Verwitterungslehm, Gehängelehm L
Geschiebelehm Lg
Geschiebemergel Mg
Löß Lö
Lößlehm Löl
Klei, Schlick Kl
Wiesenkalk, Seekalk, Seekreide, Kalkmudde Wk
Bänderton Bt
Vulkanische Asche V
Braunkohle Bk
hellbraun
grau
grau
blau
helloliv
oliv
lila
hellblau
violett
dunkelgrau
schwarzbraun

1. Darstellung von Bohrprofilen SS 2011
• Symbole gemischtkörniger Boden- und Felsarten
Benennung Kurzzeichen Zeichen Flächenfarbe
Grobkies, steinig gG, x
Feinkies und Sand fG-S
Grobsand, mittelkiesig gS, mg
Mittelsand, schluffig, schwach humos mS, u, h’
Schluff, stark feinsandig U, - fs
Torf, feinsandig, schwach schluffig H, fs, u’
Seekreide mit organischen Beimengungen Wk, o
Klei, feinsandig Kl, fs
Sandstein, schluffig Sst, u
Salzgestein, tonig Lst, t
Kalkstein, schwach sandig Kst, s’
• Erläuterungszeichen für Bohrprofile
hellgelb
orangegelb
orangegelb
orangegelb
kreß (orange)
dunkelbraun
hellblau
Formelsammlung Bodenmechanik I 3
lila
orangegelb
hellgrün
dunkelblau

2. Bodenklassierung SS 2011
2. Bodenklassierung
• Benennung von Böden: Korndurchmesser d [mm]
Feinkorn (Schlämmkorn)
TON SCHLUFF
Grobkorn (Siebkorn)
SAND KIES
Steine Blöcke
T
fein
fU
mittel
mU
Grob
GU
fein
fS
mittel
mS
grob
gS
fein
fG
mittel
mG
grob
gG
X Y
0,002 0,006 0,02 0,06 0,2 0,6 2,0 6,0 20 63 200
• Ungleichförmigkeit:
• Krümmungszahl:
d
U =
d
C C
60
10
10
2
30
d
=
d ⋅ d
• Klassifizierung: DIN 18196
Merkmal
Hauptgruppe
Merkmal
Merkmal
Merkmal
Kurzzeichen
U < 6
Cc bel.
Kies enggestuft
60
Korngrößenverteilung
von der Gesamttrockenmasse d < 63 mm sind ≤ 0,06 mm
weniger als 40 % gleich oder mehr als 40 %
Kieskorn, Sandkorn Schluff, Ton
Massenanteil des Korns ≤ 2 mm Plastizitätsgrenze
bis 60 % über 60 % Ip unterhalb A-Linie Ip oberhalb A-Linie
Kies (G) Sand (S) Schluff (U) Ton (T)
Korngrößenverteilung
von der Gesamtmasse sind ≤ 0,06 mm
Plastizitätsgrenze
< 5 % 5 ÷ 15
%
U ≥ 6
1 ≤ C c ≤
3
Kies weit
gestuft
U ≥ 6
C c < 1
C c> 3
Kies
intermittierend
gestuft
Kies
tonig
oder
schluffig
GE GW GI GU
GT
15 ÷
40 %
Kies
stark
tonig
oder
schluffig
GU*
GT*
U < 6
C c bel.
Sand
enggestuft
< 5 % 5 ÷ 15
%
U ≥ 6
1 ≤ C c ≤
3
Sand
weit
gestuft
U ≥ 6
C c < 1
C c> 3
Sand
intermittierend
gestuft
Sand
tonig
oder
schluffig
SE SW SI SU
ST
Formelsammlung Bodenmechanik I 4
15 ÷
40 %
Sand
stark
tonig
oder
schluffig
SU*
ST*
Die Zuordnung zu T bzw. T bei G und S erfolgt anhand der Zustandsgrenzen des Feinkorns
Organische und organogene
Böden:
Fließgrenze wl in % Fließgrenze wl in %
< 35 35 ÷
50
Schluff
leicht
plastisch
Schluff
mittel
plastisch
OU, OT Schluffe / Tone mit organischen Beimengungen
OH grob- bis gemischtkörnige Böden mit Beimengungen humoser Art
> 50 < 35 35 ÷
50
Schluff Ton leicht
ausge- plastisch
prägt
plastisch
Ton
mittel
plastisch
> 50
Ton
ausgeprägt
plastisch
UL UM UA TL TM TA
OK grob- bis gemischtkörnige Böden mit kalkhaltigen, kieseligen Bildungen
HN nicht bis mäßig zersetzte Torfe (Humus)
HZ zersetzte Torfe
F Schlamm als Sammelbegriff für Faulschlamm, Mudde etc.
A Auffüllung aus Fremdstoffen

3. Porenanteil, Wassergehalt, Wichten SS 2011
3. Porenanteil, Wassergehalt, Wichten
⇒ Vk
Kornvolumen: Vk = const ! Gesamtvolumen: V Porenvolumen: V0
• Kornwichte:
• Trockenwichte:
• Feuchtwichte:
Sättigung Sr < 1
• Sättigungswichte
Sättigung Sr = 1
γ s
d
Trockenmasse
=
Kornvolumen
Trockenmasse
=
Gesamtvolumen
Formelsammlung Bodenmechanik I 5
VL
VW
d
γ = = ( 1−
n)
Gesamtmasse
=
Gesamtvolumen
V0
Gd
γ d γ
γ ′
= = =
= γ w +
Vk
1−
n ( 1−
n)
⋅ ( 1+
w)
1−
n
G
γ
⋅γ
s = = γ r − n ⋅γ
w
V
1+
w
γ r −γ
w Sr
⋅γ
w ⋅γ
s
= γ s ⋅ =
γ s −γ
w w⋅
γ s + Sr
⋅γ
w
G
= = 1+
w ⋅γ
d = 1+
w ⋅ 1−
n ⋅γ
s
V
Sr
⋅γ
w ⋅γ
s
= ( 1+
w)
⋅
= ( 1+
w)
⋅ ( γ r − n ⋅γ
w )
w⋅
γ s + Sr
⋅γ
w
Gr
= = γ d + n ⋅γ
w = ( 1−
n)
⋅γ
s + n ⋅γ
w = γ ′ + γ w
V
⎛ γ ⎞ w
γ s −γ
w γ
=
⎜
⎜1−
⋅γ
d + γ w = ⋅ + γ w
γ ⎟
⎝ s ⎠ 1+
w γ s
γ ( ) ( ) ( )
γ r = γ r
( S = 1)
• Auftriebswichte: γ ′ = ( 1 − n) ⋅(
γ −γ
)
• Porenzahl:
• Porenanteil:
• Wassergehalt:
Teilsättigung
• Maximaler
Wassergehalt:
gesättigt ! Sr = 1
Hohlraumvolumen
=
Feststoffvolumen
s
w
0
s
e = = −1
= ( 1+
w)
Hohlraumvolumen
n =
Gesamtvolumen
Wassergewicht
w =
Feststoffgewicht
w
n
γ
γ
V
n
γ
V
s
= −1
Vk
1−
n γ d
γ
w⋅
γ s γ s −γ
r
= =
Sr
⋅γ
w γ r −γ
w
V0
e γ d
= = = 1−
= 1−
V 1+
e γ
w⋅
γ s γ s −γ
r
=
=
w⋅
γ + S ⋅γ
γ −γ
G
=
w w w
max = ⋅ = n ⋅ = e ⋅ = 1
1−
n γ s γ d γ s
• Sättigungszahl: w γ −γ
( 1+
e)
S
r
=
w
max
d =
n ⋅γ
w
=
γ
w
=
w
⋅γ
−γ
s =
e ⋅γ
γ
s
r
w
γ
= −1
=
s
s
w
γ
n
γ
⋅γ
( 1+
w)
−1
( )
( )
( ) ⎟ Gd
γ d 1−
n ⋅γ
s
γ − ⋅ ⋅ ⎛ ⎞
s γ Sr
γ w γ w γ w
= S ⋅
⎜ r −
γ − Sr
⋅γ
w ⋅γ
s ⎝ γ d γ s ⎠
γ r ( γ s −γ
r ) ⋅γ
w γ w γ w
− =
= −
γ d ( γ r −γ
w ) ⋅γ
s γ d γ s
w
w⋅
γ ⋅γ
s
γ
s
1
[ ( 1+
w)
⋅γ
−γ
] γ ⋅(
γ −γ
)
s
=
w⋅
γ ⋅γ
w
d
s
s
d

4. Konsistenz, Lagerungsdichte SS 2011
4. Konsistenz, Lagerungsdichte
Konsistenz � bindige Böden:
• Fließgrenze: wL Schließen einer Furche nach 25 Schlägen –
Interpolation aus mind. 4 Versuchen (Wassergehalt über log Schlagzahl)
schwachbindig: 0 – 30 % bindig: 30 – 100 %
• Ausrollgrenze: wP wenn keine 2 (3) mm Röllchen mehr möglich
schwachbindig: 0 – 20 % bindig: 20 – 40 %
• Plastizitätszahl I p = wL
− wP
schwachbindig: 0 – 10 % bindig: 10 – 90 %
• Konsistenzzahl
wL
− w
Ic
=
wL
− wP
0,25 - 0,50 breiig cu = 10 – 15
0,50 - 0,75 weichplastisch cu = 15 – 50
0,75 - 1,00 steifplastisch cu = 100 – 200
1,00 - 1,25 halbfest cu = 100 – 400
Flüssig-breiig: Ic → 0: natürlicher Wassergehalt gleich Fließgrenze: w = wL
Steif-plastisch: Ic = 1: natürlicher Wassergehalt gleich Ausrollgrenze: w = wp
Anmerkung: sowohl Ic < 0, als auch Ic > 1 kommen in der Natur vor.
Lagerungsdichte � nichtbindige Böden:
• Lagerungsdichte:
n
D =
n
• Bezogene Lagerungsdichte:
max
e
e
max
max
− n
− n
min
− e
− e
min
0 ≤ sehr locker ≤ 0,15 < locker ≤ 0,3 < mitteldicht ≤
0,5 < dicht ≤ 1,0
max I D = 0 ≤ locker < 1/3 ≤ mitteldicht < 2/3 < dicht
• Proktorkennwert:
Mit vorgegebener Verdichtungsenergie maximal erreichbare Trockendichte in Abhängigkeit vom
ρd Wassergehalt: D Pr = ⋅100%
ρPr
→ Diagramm: γd über w
Trockendichte bei Sättigung:
γ s γ d =
1+ w⋅ γ s / γ w
Luftanteil:
⎛ 1 w ⎞
n = −
⎜ +
⎟
a 1 γ d
⎝ γ s γ w ⎠
(waagrechter Abstand Sättigung / Proctotkurve)
Formelsammlung Bodenmechanik I 6

5. Durchströmung, Durchlässigkeit SS 2011
5. Durchströmung, Durchlässigkeit
• Durchfluß:
∆Q
v =
∆A
• Filtergeschwindigkeit: v = k ⋅i
Gradient: i = ∆h
∆s
• Spezifische Strömungskraft: f s = γ w ⋅i
• Porenwasserdruck: u = γ w ⋅ h
• Durchlässigkeit:
2
3
d w −3
2 n g
k = c ⋅ g ⋅ ≈ 5 ⋅10
⋅ d ⋅
ν ≈ 10 -6 m²/s
ν
2 ( 1−
n)
ν
Näherung: Hazen
m 2
k[ ] = 0,
01⋅
d10
[ mm]
s
Terzaghi
m k[ ] = 0,
05⋅
2
n
⋅ D
2[
mm]
s
2
1−
n
• mittlere Durchlässigkeit mehrerer Schichten:
∑k i ⋅ di
horizontal (Permissivität) k m =
d
→ Parallelschaltung
vertikel (Transmissivität)
∑
∑
d
∑
i
di
k =
→ Reihenschaltung
m
i
k
Formelsammlung Bodenmechanik I 7
i
lStromlinie: gesamte Länge der
∆H
∆H
• Hydraulisches Gefälle je Schicht: ii
= =
Stromlinie entlang des
dn
lStromlinie
umflossenen Gebiets
ki
⋅∑
ki
⋅
kmittel: mittlere vertikale
kn
kmittel
Durchlässigkeit
• Wasserdrücke: ∆wi = γ w ⋅ ( ∆h
−∑
∆li
⋅ii
)
Wenn Verhältnis der k-Werte bei vertikaler Durchströmung > 100, wird der gesamte Druck in der praktisch
undurchlässigen Schicht abgebaut. Wegen der Schichtung ist die horizontale Durchlässigkeit im Boden größer
als die vertikale.
Druckabbau innerhalb einer Schicht verläuft näherungsweise linear.
• Strömungsnetz: → Stromlinien, Potentiallinien
Energiesatz:
p
= + z = const
H γ
Durchströmung:
ns
q = ⋅ k ⋅ ∆H
n p
Quadratnetz ! Potentialstufen: np
Stromröhren: ns
• Durchlässigkeitsversuche:
- Spiegelhöhe konstant
Q
v = k ⋅i
=
A
∆h
→ q = k ⋅ ⋅ A
∆s
kritisches Gefälle bei vertikaler Durchströmung – Boden gewichtslos
γ ′ ( 1−
n)
⋅(
γ s − γ w )
i = =
krit
- Spiegelhöhe veränderlich mit der Zeit
A ⎛ ⎞
2 d h
t = − ⋅ ⋅ ln
⎜
⎟
A1
k ⎝ h0
⎠
γ
w
γ
w
10
A1: Probenfläche A2: Pipettenfläche
h ist Differenz der Spiegelhöhen Probe – Pipette
h < h0

6. Vertikale Zusammendrückung SS 2011
6. Vertikale Zusammendrückung
• Änderung der Porenzahl e bei Zusammendrückung:
* h
e = ( 1+ e0
) −1
h
• Setzung bei Änderung der Porenzahl e:
*
*
1+
e
e − e
h = h0
→ s = h − h0
= h0
1+
e
1+ e
0
0
0
0
Vk = konst, V0 = variabel
Ansatz: e = V0/Vk V0+Vk=h0 → Vk=h0/(1+e)
e0: Anfangsporenzahl h0: Anfangshöhe h: Endhöhe
• Relative Zusammendrückung und wirksame Spannung:
∆d&
Zusammendrückungsgeschwindigkeit: &ε =
∆d
∆d : momentane Dicke
d& ∆ : Verringerung der Dicke je
Zeiteinheit
Relative Zusammendrückung:
t
∆d0
− ∆d
V0
−V
≈ ∫ dt ≈ ≈
∆d
V
ε ε &
Porenzahl: e ≈ e − ε ( + )
t0
0 1 e0
Wirksame Spannung: σ ′ = σ − u
σ = ∆F / ∆A
→ normalkonsolidiert: wird eine Bodenschicht genannt, wenn sie in jeder Tiefe diejenige
Porenzahl aufweist, die zu der in-situ vorhandenen Vertikalspannung gehört.
→ überkonsolidiert: ein vorbelasteter und teilweise wieder entlasteter Boden
• Erstbelastung:
Kompressionsbeiwert: Tangentenneigung im ln(σ'/σ0) – e – Diagr.
C c
d e
= − =
σ ′
d ln
σ
Formelsammlung Bodenmechanik I 8
0
( 1 + e )
d ε
d σ ′
σ ′
0
Steifemodul: Tangentenneigung im σ' – ε – Diagramm
E
s
dσ
′ 1+
e
= = σ ′
dε
C
c
Porenzahl: e = e − ⋅
⎛ ⎞
⎜
′
0 C ln σ
c ⎟
⎝ σ 0 ⎠
Diagramm: ln(σ'/σ0) über e: körniger Erdstoff: je nach ID nahezu horizontale Gerade
bindiger Erdstoff: Gerade mit abweichenden Rändern
Äquivalente Spannung:
⎛ e − e ⎞
=
⎜
⎟
e exp
⎝ Cc
⎠
0
σ σ 0
• Entlastung:
Schwellbeiwert: CS Tangentenneigung im ln(σ'/σ0) – e – Diagramm bei Entlastung
Geradengleichung:
⎛ σ ′ ⎞
e = e ⎜ ⎟
v − CS
ln
⎜ ⎟
⎝σ
′ 0 ⎠
Steifemodul:
1+
e
E ′ s = σ
C
größer als bei Erstbelastung!
• Wiederbelastung:
Vorspannung: σv Übergangspunkt von Wiederbelastung zur Erstbelastung
Porenzahl:
e = e
0
− C
S
S
⎛ σ ′ e ⎞
ln
⎜
⎟ − C
⎝σ
′ 0 ⎠
C
⎛σ
′ ⎞
ln⎜
⎟
⎜ ⎟
⎝σ
′ e ⎠
0
e
1
C C
C S
σ e
C C
ln σ/σ 0

6. Vertikale Zusammendrückung SS 2011
Formelsammlung Bodenmechanik I 9
Äquivalente Spannung:
c
S
C
C
v
v
c
v
s
v
c
e
C
'
'
ln
C
'
ln
C
exp
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
′
′
′
=
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
0
0
Setzung:
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛ ∆
+
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
=
e
v
C
v
e
s
p
ln
C
ln
C
e
H
s
σ
σ
σ
σ
1

7. Spannungsausbreitung SS 2011
7. Spannungsausbreitung
• Eigengewichtsspannung:
σ = σ ′ = γ ⋅ z
oberhalb des GW
z z
σ ′ z,
i = σ ′ ′
z,
i−1
+ γ i ⋅ di
allgemein; unter GW
→ Abschnittsweise linear mit Knicken an Schichtgrenzen, Grundwasserspiegel
• Spannungen infolge Auflasten:
- Boussinesq; Einzellast q, bzw. kreisförmige Lastfläche mit pi und Ai
3F
σ p =
2π
z
5
2 cos
ϑ
cos
Verteilte Lasten: Superposition
σ
p
=
∑
σ
p,
i
3
= z
2π
3
∑
p ⋅ A
i
i
=
ϑ r: Abstand auf Oberfläche
2 2
2 2 ( z + r )
i
z
−5
2
Formelsammlung Bodenmechanik I 10
z
+ r
- Druckausbreitung unter 45° bei örtlich begrenzter Oberflächenlast
z
=
z
z
( 1+
2 ⋅ )( 1+
2⋅
)
a
p
σ z: Tiefe a, b: Abmessungen der Auflast p
b
- Steinbrenner: Spannung im Randpunkt einer rechteckförmigen, schlaffen Lastfläche
σ = i ⋅ p
Fläche: a ≥ b
z
0,00 0,05 0,10 Beiwert i 0,15 0,20 0,25
0,0
0,00
2,0
4,0
6,0
8,0
10,0
12,0
14,0
16,0
18,0
a/b = 1,0
a/b = 1,5
a/b = 2,0
a/b = ∞
a/b = 10
a/b = 5,0
a/b = 3,0
σ z
p
z
a
σz = i ⋅ p
a ≥ b
b
a/b = 1
a/b = 1,5
a/b = 2,0
a/b = 3,0
a/b = 5,0
a/b = 10 bis ∞
20,0
2,00
z/b z/b
- Beliebige Punkte durch vorzeichengerechte Superposition von Teilflächen zu erreichen.
Formel für i:
i
2 2
( a 1 ⎡
⋅
⋅ ⋅ ⋅
) ( + )
; z
a b a b z r z
= arcsin
+
= f
2 2 2 2
2
b
b
2 2
r =
a + b +
z
⎢
2π
⎣
2
a
+ z
b
+ z
r ⋅
⎤
( ) ⎥ 2 2 2
r ⋅ z + a ⋅b
⎦
0,50
1,00
1,50

8. Setzungsberechnung SS 2011
8. Setzungsberechnung
• Steifemodul ES → Verformungsmodul Ev
Erste Näherung: Ev = ES oder Korrekturfaktor nach DIN 4019
• Direkte Setzungsberechnung (Für schichtweise konstantes Ev)
1
s =
E
t
σ ( z)
dz
∫
v z=
0
f
Nach Steinbrenner: s =
v
Setzungsbeiwert f f ( a z
s = ; )
s
⋅b
⋅ p
E
o
Ev = Verformungsmodul
po = Oberflächenlast
b b
a = Fundamentlänge
b = Fundamentbreite
z = Tiefe
in Tafeln oder Diagrammen, hier für ν = 0,5 und Setzung des Eckpunktes (vgl. Bild 7.6 AfBM)
z/b a/b 1,0 1,5 2,0 3,0 5,0 10,0 ∞
0,25 0,0622 0,0623 0,0623 0,0623 0,0623 0,0623 0,0623
0,5 0,1222 0,1232 0,1232 0,1233 0,1234 0,1234 0,1234
0,75 0,1770 0,1799 0,1806 0,1812 0,1814 0,1814 0,1814
1,0 0,2247 0,2314 0,2333 0,2346 0,2349 0,2350 0,2350
1,5 0,2988 0,3161 0,3223 0,3264 0,3276 0,3279 0,3279
2,0 0,3500 0,3792 0,3914 0,4003 0,4033 0,404 0,4040
3,0 0,4143 0,4634 0,4880 0,5091 0,5194 0,5221 0,5222
4,0 0,4501 0,5137 0,5484 0,5823 0,6029 0,6094 0,6099
6,0 0,4897 0,5705 0,6196 0,6751 0,7173 0,7358 0,7383
8,0 0,5097 0,5997 0,6574 0,7269 0,7887 0,8232 0,8297
10 0,5217 0,6175 0,6806 0,7593 0,8367 0,8878 0,9007
12 0,5297 0,6295 0,6964 0,7817 0,8711 0,9376 0,9587
15 0,5378 0,6415 0,7126 0,8051 0,9074 0,9923 1,0298
18 0,5432 0,6496 0,7231 0,8207 0,9323 1,0337 1,0880
∞ 0,5460 0,6536 0,7283 0,8285 0,9449 1,0553 1,1216
• Bei geschichteten Untergrundaufbau:
z1
⎡ b
⎢
fs
f 0 s
s p = s1
+ s2
= b⋅
po
+
⎢ Ev1
⎢⎣
z2
b
0
E
−
v2
f
z1
b
s 0
• Mittelwert bei verschiedenen Ev (z.B. dünnbankig geschichteter Boden)
E
( x + x )
⋅ E
⋅ E
1 2 v1
v2
v = Mittelung über Kehrwerte !
Ev1
⋅ x2
+ Ev2
⋅ x1
• Indirekte Setzungsberechnung
1. Einteilung Untergrund in Schichten
2. Vorlastzustand σvj in Schichtmitten (Eigengewicht – GW!, Nachbargebäude, ...)
3. Zusatzspannung infolge Baumaßnahme an Schichtgrenzen (evtl. Aushub berücksichtigen)
4. Mittlere Zusatzspannung ∆σj – Mittelwert der Werte an den Schichtgrenzen
5. Mit σvj und ∆σj kann direkt aus dem Drucksetzungsversuch das zugehörige ∆εj ermittelt werden
6. Gesamtsetzung – Summe der Setzungen der einzelnen Schichten:
n
s = ∑∆ε
j ⋅ ∆z
j
j=
1
n ∆σ
j
= ∑ ⋅ ∆z
j
j=
1 Esj
Grenztiefe: zg: wenn ∆σg = 20% ⋅ σvg
• Starr – schlaff: sstarr ≈ 0
, 75⋅
sschlaff
Formelsammlung Bodenmechanik I 11
⎤
⎥
⎥
⎥⎦
b
z 1
p 0
z 2
a
E v1
E v2
z

9. Konsolidierung SS 2011
9. Konsolidierung
Konsolidierungsbeiwert:
k Es
cv
=
γ w
∆p: aufgebrachte Belastung
H. Schichtdicke
∆u: Porenwasserüberdruck ∆σ': effektive Zusatzspannung
d: Entwässerungslänge, das bedeutet rechnerische Schichtdicke H bei einseitiger Entwässerung, halbe
Schichtdicke H/2 bei beidseitiger Entwässerung
µ: Konsolidierungsgrad
∆σ
′
( )
( z,
t)
∆u(
z,
t)
µ z,
t = = 1−
∆p
∆p
d
s
()
( t)
1
µ t = = ∫ µ ( z,
t)
dz
s d
Abschätzung:
Tv cv
⋅ t
µ ≈ 2 ⋅ = 2 ⋅ bzw.
2
π π ⋅ d
T v
T v
Formelsammlung Bodenmechanik I 12
∞
0
2
4 µ
π
≈ ⋅
für 0 ≤ µ ≤ 0,5
≈ −0
, 405⋅
0,
21+
ln( 1−
µ ) für 0,5 ≤ µ ≤ 0,9
2
( )
ACHTUNG:
d = H, wenn einseitig
d = H/2, wenn beidseitig
entwässert
cv
Zeitfaktor: Tv
= ⋅t
2
d
TV,98 = 4
Konsolidationsdauer:
z
t
98
u max
4 ⋅ d
=
Modellgesetz (Terzaghi):
t p
tM
⎛ d p ⎞
= ⎜
⎟
⎝ d M ⎠
Momentane Setzung: = ∑ i ⋅ i∞
s s µ
Isochronen des Porenwasserüberdruckes näherungsweise Parabeln 2. Ordnung (ACHTUNG: obere Grenze
beachten → Max der Parabel nicht größer als Belastungsdruck ∆p)
Beziehungen: p = ∆u(
z)
+ ∆σ
′ ( z)
∆ totale Zusatzspannung = Porenwasserüberdruck + effektive
Zusatzspannung
3
1
∆ umax = ( 1−
µ ) ⋅ ∆p
∆σ ′ = ( 3 −1)
⋅ ∆p
2
min µ 2
∆ ′ = µ ⋅ ∆p
σ mittlere effektive Zusatzspannung
2 ( 1− ) = ⋅ umax
∆ u = ∆p
µ ∆ mittlerer Porenwasserüberdruck
3
∆
⎡
⎢
⎢⎣
2
⎛ z ⎞ ⎤
⎜ ⎟ ⎥
⎝ d ⎠ ⎥⎦
u ( z)
= ∆u
⋅ 1−
∆σ ′ ( z) = ∆p
− ∆u(
z)
max
2 ∆u
µ
= 1−
3 ∆p
max
cv
2

10. Scherfestigkeit SS 2011
10. Scherfestigkeit
Maßgebende Vorschrift: DIN 18137, T1 u. 2
• Rahmenschergerät:
Meßgrößen:
Scherkastens: b
Schubkraft T, Horizontalverschiebung s, Auflast p (vorgegeben) Breite des quadratischen
T
Schubspannung: τ f =
b ⋅ ( b − s)
P
Normalspannung: σ a = 2
b
Schergesetz:
- Coulomb τ ′ + σ ′ ⋅ ϕ′
τf = tan
f c
- Krey-Tiedemann – bindiger Boden
′ ⋅ ′ + ′ ⋅
a
τ f = σ v tanϕ σ a tanϕ′
tan ϕ′ = tanϕ′
+ tanϕ
s
σ'v: effektive Spannung vor Versuchsbeginn
σ'a: e.S. während des Versuchs
ϕc: Winkel der Kohäsion
ϕ': Winkel der inneren Reibung
ϕ's: Winkel der Gesamtscherfestigkeit
c = σ ′ ⋅ tan ϕ′
c
Formelsammlung Bodenmechanik I 13
c'
τ f
c'
ϕ'
ϕ'
2
ϕ c ' ϕ s '
u
s
1: normalkonsolidiert
2:
3:
überkonsolidiert
unterkonsolidiert
• Triaxialversuch:
Meßgrößen: Stempelkraft P1, Stempelverschiebung ∆h, ggf. Volumenänderung ∆V, ggf.
Porenwasserdruck u, Seitendruck σ3 (i.d.R. vorgegeben)
P1 σ 1 = σ 3 +
Fa
Schergesetz:
∆h
ε 1 =
h0
Fa: aktuelle Probenfläche h0: Anfangsprobenhöhe
- Mohr-Coulomb:
τ
Auftragung der effektiven Hauptspannungen σ1' und σ3' beim
Bruch → ϕ' und c': Endstandsicherheit
σ ′ −σ
′ = ( σ ′ + σ ′ ) ⋅sinϕ′
+ 2⋅
′ ⋅cosϕ′
1 3 1 3 c
τf σf αf α
f
=
π
4
+
φ′
2
- Tresca:
Auftragung der totalen Spannungen σ1 und σ3 beim
Bruchzustand → cu: Anfangsstandsicherheit
c u
σ 1 −σ
3
= τ =
2
c'
τ
c u
ϕ'
σ' 3
τ f
σ f
ϕ'
1
2α f
σ' v
3
σ' 1
σ' a
σ' a
σ'
σ 1, σ 3

11. Erddruck SS 2011
11. Erddruck
• aktiv: Wandbewegung vom Boden weg
• passiv: Wandbewegung zum Boden hin
+δ
• Erddruck:
e
E
ah
ah
E a
q
+α
G
ϑ a
Q
+β
C
ϕ
( α δ )
= σ ′ z ⋅ Kah
− 2⋅ c ⋅ Kah
⋅ cos −
=
∫
z
e
ah
dz
• Erdruhedruck:
K 0 = 1−
sinϕ
( α = β = δ = 0 )
• Erhöhter aktiver Erddruck:
K0
+ K ah
K =
2
• Bei vorgegebener Gleitfuge ϑ (z.B. ansteigender Fels hinter Wand)
2
sin( ϑa,
p m ϕ)
γ ⋅ h
sin( ϑa,
p m ϕ)
Ea,
p = G ⋅
= ⋅
2
cos( ϑ m ϕ + α − δ ) 2 cos( ϑ m ϕ + α − δ ) ⋅ cos α ⋅
a,
p
• Evtl. zusammengesetzte Mechanismen → BM II/III
Formelsammlung Bodenmechanik I 14
-δ
a,
p
E p
q
+α
G
ϑ p
C
+β
Q
ϕ
[ tan( ϑ + α)
− tan( α + β ) ]
• Einseitig begrenzte Auflast:
Normaler Erddruckbeiwert, Spannungsverlauf ab Reibungswinkel ansteigend bis Gleitfugenneigung
zunehmend, dann konstant.
• Erddruck auf eine Stützwand
Lastausbreitung (Verkehrslasten – Streifenlasten)
einfach – rechteckförmig:
oben: ≤ ϕ
erweiterte, z.B. trapezförmig:
oben und unten je ϕ und ϑa
•
unten: ϑa
Umverteilung in Ersatzlastfigur abhängig von der Wandart → EAB
Freie Standhöhe:
Ea = 0: h2
=
4⋅
c
⋅ K
2 ⋅ q
−
γ
ea = 0:
γ
⋅ c
h =
γ ⋅ K
2
1
a
a
q
−
γ
a,
p

11. Erddruck SS 2011
• Erddruckbeiwerte – Aktiv
- Fall 1 α = 0 β = 0 δ = 0 a k t i v
⎛ ⎞
= tan ⎜ − ⎟
⎝ 4 2 ⎠
2 π ϕ
K ah
π/4 = 45° !
π ϕ
ϑ a = +
4 2
e = γ ⋅ h + q ⋅ K − 2⋅
c ⋅
ah
[ ] ah K ah
1 2
⎡
Eah = ⎢ ⋅γ
⋅ h
⎣2
⎤
+ q ⋅ h⎥
⋅ K ah − 2 ⋅c
⋅ h ⋅
⎦
= 0 E = E
E av
a ah
- Fall 2 α = 0 β = 0 δ ≠ 0 a k t i v
K ah =
⎡
⎢1
+
⎣
2
cos ϕ
2
sin(
ϕ + δ ) ⋅sinϕ
⎤
⎥
cosδ
⎦
⎡
ϑ
⎢
a = ϕ + arccot tanϕ
+
⎢
⎣
tanδ
1+
⎤
tanϕ
⎥
cosϕ
⎥
⎦
arccot[ L] = 90°
− arctan[
L]
e ah = [ γ ⋅ h + q]
⋅ K ah − 2⋅ c ⋅ K ah ⋅ cosδ
⎡1
2 ⎤
E ah =
⎢
⋅γ
⋅ h + q ⋅ h ⋅ − 2⋅
⋅ ⋅
⎣2
⎥
Kah
c h
⎦
Kah
⋅ cosδ
E av = Eah
⋅ tanδ
Eah
E a =
cosδ
- Fall 3 α ≠ 0 β ≠ 0 δ ≠ 0 a k t i v
2
cos ( ϕ + α )
K ah=
2
⎡ 2 sin(
ϕ + δ ) ⋅sin(
ϕ − β ) ⎤
cos α ⋅ ⎢1
+
⎥
⎣ cos(
α − δ ) ⋅ cos(
α + β ) ⎦
ϑ = ϕ
e
E
E
a
ah
ah
av
( )
( )
( ) ( )
( ) ( ) ⎥ ⎡
1
+ arccot⎢tan
α + ϕ +
⎣
cos α + ϕ
sin ϕ + δ ⋅ cos α + β ⎤
sin ϕ − β ⋅cos
δ −α
⎦
[ γ ⋅ h + q]
⋅ K − ⋅ c ⋅ K ⋅ ( δ −α
)
= ah 2 ah cos
1 2
⎡
=
⎢
⋅γ
⋅ h
⎣2
⎤
+ q ⋅ h
⎥
⋅ Kah
− 2⋅
c ⋅h
⋅
⎦
Kah
⋅ cos −
= ah ⋅ tan δ −α
E
Eah
E
a =
cosδ
−α
K
ah
( δ α )
Formelsammlung Bodenmechanik I 15

11. Erddruck SS 2011
• Erddruckbeiwerte – Passiv
- Fall 1 α = 0 β = 0 δ = 0 p a s s i v
⎛ ⎞
= tan ⎜ + ⎟
⎝ 4 2 ⎠
2 π ϕ
K ph
π ϕ
ϑ p = −
4 2
π/4 = 45° !
⎡1
2 ⎤
E ph =
⎢
⋅γ
⋅ h + q ⋅ h
⎥
⋅ K ph + 2⋅
c ⋅h
⋅
⎣2
⎦
K ph
= 0 E = E
E pv
p ph
- Fall 2 α = 0 β = 0 δ ≠ 0 p a s s i v
K ph =
⎡
⎢1
−
⎣
2
cos ϕ
2
sin(
ϕ − δ ) ⋅sinϕ
⎤
⎥
cosδ
⎦
ϑ
E
E
⎡
1+
tanδ
⎤
( )
( )
( ) ⎥ ⎥
tan −ϕ
= − + ⎢
p ϕ arccot tan −ϕ
+
arccot[ L] = 90°
− arctan[
L]
cos −ϕ
ph
pv
⎢
⎣
⎦
⎡1
2 ⎤
=
⎢
⋅γ
⋅ h + q ⋅ h ⋅ + 2⋅
⋅ ⋅
⎣2
⎥
K ph c h
⎦
K ph ⋅ cosδ
= E ph ⋅ tan δ
E ph
E p =
cosδ
- Fall 3 α ≠ 0 β ≠ 0 δ ≠ 0 p a s s i v
Formelle Bestimmung nach Coulomb nicht üblich → Erddruckbeiwert aus gekrümmter Gleitfuge
oder zusammengesetztem Bruchmechansimus.
Formelsammlung Bodenmechanik I 16

12. Geländebruch SS 2011
12. Geländebruch
• Ebene Gleitfläche:
Unendlich ausgedehnte R T d fd tanϕ
d
Böschung: = = ≥ 1
E T
Hangparallel durchströmte
Böschung:
R
E
d
d
d
d
tan β
tanϕ
d 1
= ⋅ ≥ 1
tan β γ w
1+
γ ′
Begrenzte Böschung (kohäsiver Boden, β > 60°):
1
2
( cotϑ
− cot β ) = γ ⋅γ
⋅ ( cotϑ
β )
d
Td = Gd ·sin β = Gk ⋅ γG ·sin β
Nd = Gd ·cos β = Gk ⋅ γG ⋅ cos β
Tfd = Nd ⋅ tan ϕd = Nd ⋅ tan ϕk /γϕ'
Td = V ⋅ (γ'k ⋅ γG ⋅ sin β + γw ⋅ sin β )
Nd = G'd ⋅ cos β = V ⋅ γ'k ⋅ γG ⋅ cos β
Tfd = Nd ⋅ tan ϕd = Nd ⋅ tan ϕk /γϕ'
Gd 1 2
= 2 γ d ⋅ h
2 k G h − cot
T d = Gd
⋅sinϑ
= Gk
⋅γ
G ⋅sinϑ
N d = Gd
⋅ cosϑ
h 1 2
T fd = Cd
+ N d ⋅tanϕ
d = cd
⋅ + γ d ⋅ h ( cotϑ
− cot β ) ⋅ cosϑ
⋅tanϕ
d
sinϑ
2
2⎛
β − ϕ d ⎞
sin ⎜ ⎟
⎛ 2 ⋅ cd
⎞ ⎛ 2 ⋅ ck
⎞ ⎝ 2 ⎠
Maximalwert: ⎜
γ d h ⎟ =
⎜
=
γ k h γ ⎟
⎝ ⋅ ⎠
c sin β ⋅ cosϕ
max ⎝ ⋅ ⋅ ⎠ max
d
ϕ + β
für ϑ0
=
2
d
Oder GEO-3 Gleiten:
Rd
E
Td
, möglich
=
T
Cd
=
+ N d ⋅ tanϕ
d
G ⋅sin
β
Ck
tanϕ
k
+ N d ⋅
γ c γ ϕ
=
G ⋅sin
β
≥ 1
d
d , vorhanden
• Gekrümmte Gleitfläche – homogener Boden
Rein kohäsiver Boden: zu G ggf. noch veränderliche Lasten P mit Gd + Pd = Gk · γG + Pk · γQ
Ausnutzungsgrad:
Teilsicherheitsfaktor:
M
µ =
M
d , treibend
d , haltend
2
r ⋅ ck
⋅ψ
0 ⋅ µ
γ c'
=
G ⋅ r + P ⋅ r
d
G
Gd
⋅ rG
+ Pd
⋅ r
=
r ⋅ τ ds
d
Q
Formelsammlung Bodenmechanik I 17
∫
d
fd
Q
Gd
⋅ rG
+ Pd
⋅ rQ
= 2
r ⋅ c ⋅ψ
Böden mit Reibung:
Kohäsion: C hat Richtung der Sekante des Gleitkreises.
r ⋅ψ
0
Cd = 2 ⋅ cd
⋅ r ⋅sin(
ψ 0 / 2)
rc =
2sin( ψ 0 / 2)
Resultierende Q (nach DIN 4084 - inzwischen ist das Zeichen Q für veränderliche Einwirkungen
reserviert !) aus Reibung und Normalkraft:
Differenzielle Resultierende dQ berührt den Reibungskreis mit Radius rQ = r ⋅sinϕ
Standsicherheitsnachweis:
1. Ermittlung von G (zuzüglich veränd. Lasten P wie oben) nach Größe, Lage und Richtung
2. Zusammenfassung zu einer Resultierenden der treibenden Kräfte R mit Hebelarm rR
3. Aus Krafteck ergibt sich eine Kraft Q, die mit R und C im Kräftegleichgewicht ist.
4. Momentengleichgewicht erfüllt, wenn Kraft Q durch den Schnittpunkt von R und C geht
5. Ausnutzungsgrad:
M d , treibend
R ⋅r
R
R ⋅ rR
µ = ≈
=
2
M d , haltend r ⋅ cd
⋅ψ
0 + Q ⋅ r ⋅sinϕ
d
⎛ ⎛ ⎞⎞
2 ck
⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⎜ ⎜
tanϕ
k
r ψ Q r
⎟⎟
0 sin arctan
γ
⎜ ⎜ ⎟⎟
c
⎝ ⎝ γ ϕ ⎠⎠
6. oder Teilsicherheitsfaktor (bei bekanntem, festem γc’):
d
d
0
bzw.

12. Geländebruch SS 2011
tan( ϕ )
⎛ r k
Q ( R,
C,
rc
, rR
) ⎞
γ ϕ = mit ϕ =
tan( ϕ d )
⎜
⎟
d arcsin
⎝ r ⎠
• Gekrümmte Gleitfläche – inhomogener Boden (Fellenius)
Gleitkörper in Lamellen unterteilen (bessere Abschätzung der Druckverteilung, Berücksichtigung
der Schichtung).
Lamellenbreite bi, Neigung der Gleitfläche jeweils ϑi. An jeder Lamelle wirken:
- Resultierende der äußeren Kräfte (Gewichte Gi, Auflast Pi,) mit Hebelarm r.:
∑ ( Gd , i + Pd
, i ) ⋅ sinϑ
i
- Porenwasserdruck ui auf die Gleitfläche der Länge li = bi/cos ϑi (gleichwertig ersetzbar durch
Strömungskräfte in den Lamellen mit errechneten Hebelarmen � Zusatzmoment)
- Ei und Ei+1: Erddrücke an den Lamellengrenzen links und rechts unter den Winkeln δi
- Normalkraft Ni in der Gleitfuge je nach Annahme für δi:
δi = ϑi → Nd i = ( Gd
i + Pd
i ) ⋅cosϑi
− ui
⋅l
(nach Fellenius, nur für Voruntersuchungen)
, , ,
i
δi = 0
Gd
, i + Pd
, i − ui
⋅li
⋅ cosϑi
− µ ⋅ cd
, i ⋅li
⋅sinϑi
→ Nd
, i = (Krey-Bishop vereinfacht)
cosϑi
+ µ ⋅sinϑi
⋅ tanϕd
, i
δi = εi → N d , i
( Gd
, i
=
+ Pd
, i ) ⋅ cosε
i − ui
⋅ li
⋅ cos( ϑi
− ε i ) − µ ⋅ cd
, i ⋅ li
⋅ sin( ϑi
− ε i )
cos( ϑi
− ε i ) + µ ⋅ sin( ϑi
− ε i ) ⋅ tanϕ
'd
, i
(Bishop erweitert)
- Ti: Schubkraft in der Gleitfuge
= c ⋅l
+ N ⋅tanϕ
(Fellenius, nur für Voruntersuchungen)
T d , i d , i i d , i d , i
T d , i µ ⋅ cd
, i ⋅li
+ N d , i⋅tanϕd
, i
( )
( )
( ) 1
M E,
d r ⋅∑
Gd
, i + Pd
, i ⋅ sinϑi
µ = =
≤
M R,
d r ⋅∑
cd
, i ⋅ li
+ N d , i ⋅ tanϕ
d , i
r ⋅∑
( Gd
, i + Pd
, i ) ⋅ sinϑi
⎛ ck
, i
∑⎜
⋅
bi
⎡
+ ⎢(
Gd
, i + Pd
, i ) ⋅ cosϑi
− ui
⋅
bi
⎤ tanϕ
⎞ k , i
⎥ ⋅ ⎟
= (Krey-Bishop)
Nachzuweisen: Ausnutzungsgrad
µ =
r ⋅
⎜
⎝ γ c
cosϑ
i
⎣
∑(
Gd
, i + Pd
, i ) ⋅sinϑi
+ [ ( G + P ) − u ⋅b
]
cosϑi
⎦
Formelsammlung Bodenmechanik I 18
γ
ϕ
⎟
⎠
(Fellenius)
r ⋅
µ =
(Krey-Bishop vereinfacht)
⎛ ck
, i b
tanϕ
i
k,
i ⎞
⎜ ⋅
⋅ ⎟
d , i d , i i i
⎜ γ c cosϑi
γ ϕ ⎟
r ⋅∑
⎜
tanϕ
⎟
k,
i
⎜ cosϑ
+ µ ⋅ ϑ ⋅
⎟
⎜
i sin i
⎟
⎝
γ ϕ ⎠
iterativ durch Annahme von µ und Einsetzen (DIN 4084)
• Vereinfachte Gleitkreisberechnung
c = cu, ϕ = 0
kleinster Sicherheitsfaktor
γ cu =
K
cuk
⋅
bei ϑ = ϑ0
und ψ = ψ 0
⋅ h
c
γ
d
Gestrichelt: Lösung bei ψ = 0 (Gleitebene)

12. Geländebruch SS 2011
c > 0, ϕ > 0 (Ablesung für ϕ = ϕd)
mit Reibungskreisannahme
kleinster Sicherheitsfaktor mit den Koordinaten xm und hm des Kreismittelpunkts (Ablesung für ϕ = ϕd):
γ c =
K
ck
⋅ ⋅ h
c
γ
d
Damm (c = 0, ϕ > 0, Ablesung für ϕ = ϕd) auf cu-Boden
Formelsammlung Bodenmechanik I 19

12. Geländebruch SS 2011
kleinster Sicherheitsfaktor mit dem Radius rm
und der Mittelpunktshöhe hm
(Ablesung für ϕ = ϕd):
cuk
γ c =
K ⋅ ⋅ h
c
γ
d
• Gewichtete Parameter – Auflast → Zusätzliche Höhe
γ d ⋅ h γ G
Bedingung: pk
≤ ⋅
3
entspricht zusätzlicher Böschungshöhe:
γ
Q
h
p
p γ k Q
= ⋅
γ γ
• Boden aus mehreren verschiedenen Schichten:
Gerade Gleitfuge: entweder Annahme des kleineren der beiden (wenn fast gleich), oder Gewichtung
c1
⋅ h1
+ c2
⋅ h2
Kohäsion:
c =
h + h
• Reibungswinkel:
Gekrümmte Gleitfuge:
Kohäsion:
Reibungswinkel:
• Teilsicherheitsbeiwerte (DIN 1054:2010):
GEO-3
Verlust der Gesamtstandsicherheit
ϕ
1
2
2
2
h ⎛
1
h
⋅ + ⋅⎜
1
ϕ1
ϕ 2 ⎜
1−
2
( h1
+ h2
) ⎝ ( h1
+ h
= 2
2 )
c1
⋅ψ
1 + c2
⋅ψ
2 + L
c =
ψ 1 + ψ 2 + L
ϕ1
⋅ z1
⋅ψ
1 + ϕ2
⋅ z2
⋅ψ
2 + L
ϕ =
z ⋅ψ
+ z ⋅ψ
+ L
1
1
2
Formelsammlung Bodenmechanik I 20
2
d
G
Bemess.-situation BS-P BS-T BS-A
Ständige Einwirkung γG 1,00 1,00 1,00
Ungünst. Veränderl. Einwirkung γQ 1,30 1,20 1,00
Scherfestigkeit Reibungsbeiwert γϕ' 1,25 1,15 1,10
Scherfestigkeit Kohäsion γc', γcu 1,25 1,15 1,10
⎞
⎟
⎠

13. Gleiten und Grundbruch SS 2011
13. Gleiten und Grundbruch
• Sicherheitsmodell:
Bezugsgröße
Kraft: Gleiten
Grundbruch
H R + R
• Teilsicherheitsbeiwerte (DIN 1054:2010):
GEO-2
Versagen von
Bauwerken
d ≤ d p,
d
Bemessungswert der Beanspruchung
in Richtung der Fundamentsohle ≤ Bemessungswert des
Gleitwiderstands + Erdwiderstand
Vd ≤ R
Bemessungswert der Beanspruchung
d
senkrecht zur Fundamentsohle ≤ Bemessungswert des
Grundbruchwiderstands
Bemessungssituation BS-P BS-T BS-A
Ständige Einwirkung γG 1,35 1,20 1,10
Ungünst. Veränderl. Einwirkung γQ 1,50 1,30 1,10
Erd- und Grundbruchwiderstand γR,e , γR,v 1,40 1,30 1,20
Gleitwiderstand γR,h 1,10 1,10 1,10
• Einwirkung und Widerstand Gleiten:
Hd = HG,k · γG + HQ,k · γQ (Bemessungsbeanspruchung)
Rp,d = Rp,k / γR,e (Bodenreakton an der Stirnseite des Fundamentkörpers)
Rd = Rt,k / γR,h (Bemessungs-Gleitwiderstand) mit Rt , k = A⋅
cu
, k (Anf.-zustand cu-Fall)
bzw. Rt , k = Vk
⋅tanδ
k (Endzustand nach Konsolidierung)
bzw. Rt , k = Vk
⋅tanϕ
'k
+ A⋅
c'k
(Bruchfläche im Boden)
• Einwirkung und Widerstand Grundbruch:
Vd = VG,k · γG + VQ,k · γQ (Bemessungsbeanspruchung)
Rd = Rn,k / γR,v (Bemessungs-Grundbruchwiderstand)
b
lotrechte mittige
Belastung (Resultierende) b
γ , ϕ, c 2
Form der
Grundbruchfigur
abhängig von ϕ
• Grundbruchlast (lotrecht mittig belastetes Fundament):
Rnk = b ⋅ a ⋅ ( ck
⋅ N c0
⋅ν
c + γ 1k
⋅ d ⋅ N d 0 ⋅ν
d + γ 2k
⋅ b ⋅ N b0
⋅ν
b )
14243
14
4 2443
142
4 43 4
Kohäsion
Gründungstiefe
Formelsammlung Bodenmechanik I 21
d
γ 1
Gründungsbreite
a
a > b
d = geringste Gründungstiefe unter GOK b = Breite, a = Länge b ≤ a
γ1k: Wichte Boden oberhalb Gründungssohle γ2k: Wichte Boden unterhalb Gründungssohle
Nx0: Tragfähigkeitsbeiwerte:
ϕk 0,0 5,0 10,0 15,0 20,0 22,5 25,0 27,5 30,0 32,5 35,0 37,5 40,0 42,5
Nc0 5,0 6,5 8,5 11,0 15,0 17,5 20,5 25,0 30,0 37,0 46,0 53,0 75,0 99,0
Nd0 1,0 1,5 2,5 4,0 6,5 8,0 10,5 14,0 18,0 25,0 33,0 46,0 64,0 92,0
Nb0 0,0 0,0 0,5 1,0 2,0 3,0 4,5 7,0 10,0 15,0 23,0 34,0 53,0 83,0
Nd
0
⎛ϕ
= exp
45
2 k
( π ⋅ tanϕk
) ⋅ tan ⎜ + ° ⎟
⎝ 2 ⎠
⎞
N
N
−1
N =
N −1
⋅ tanϕ
d 0
c0
= b0
( d 0 ) k
tanϕk

13. Gleiten und Grundbruch SS 2011
νx: Formbeiwerte:
Grundrißform νc (ϕ ≠ 0) νc (ϕ = 0) νd νb
Streifen 1,0 1,0 1,0 1,0
Rechteck ν d ⋅ N d 0 −1
1 + 0,2 ⋅ b / a 1 + b / a ⋅ sin ϕk 1 – 0,3 ⋅ b / a
Quadrat / Kreis N −1
1,2 1 + sin ϕk 0,7
d 0
• Grundbruchlast (schräg und außermittig belastete Fundamente):
Rnk = b'
⋅ a'
⋅(
ck
⋅ Nc
+ γ 1k
⋅ d ⋅ Nd
+ γ 2k
⋅ b'⋅N
b ) mit
123
14243
14243
Kohäsion
Gründungstiefe
Gründungsbreite
Nb = Nb0 · νb · ib · λb · ξb
Tragfähigkeitsbeiwerte für
den Einfluss der Grundrissform (ν) und der Neigungen
Nd = Nd0 · νd · id · λd · ξd der Einwirkung (i),
des Geländes (λ)
Nc = Nc0 · νc · ic · λc · ξc und der Sohlfläche (ξ)
a', b': rechnerische Länge, bzw. Breite des
V
Gründungskörpers
x′ = x − 2 ⋅ ex
a' > b'
a,b → x!
Resultierende aus Last
und Erdwiderstand Ep ex = M x V (M auf Mittelpunkt Sohle bezogen)
γ1 Nx: Tragfähigkeitsbeiwerte (wie oben)
νx': Formbeiwerte (mit a' und b' wie oben)
γ 2 , ϕ, c
ix: Neigungsbeiwerte: abhängig von der Lastneigung δ = arctan( Tk/Nk) gegen das Lot auf die
Sohlfläche und ggf. von ω im Grundriss (Winkel von H gegen die Richtung von a’)
δ > 0°: ib = (1 - tan δ) m+1
id = (1 - tan δ) m
ϕk> 0° und
ck ≥ 0 kN/m
ic = (id Nd0 - 1) / (Nd0 - 1)
0,
64+
0,
028⋅ϕ
k
δ < 0°: ib = ( 1−
0,
04 ⋅δ
)
2
mit
a'
2 + b'
2 2
m = cos ω +
a'
1+
b'
1+
ϕ k= 0° und
ck > 0 kN/m 2
Formelsammlung Bodenmechanik I 22
2 e a
0,
03+
0,
04⋅ϕ
k
id = ( 1−
0,
0244 ⋅δ
)
ic = (id Nd0 - 1) / (Nd0 - 1)
id = 1
Tk
ic = 0 , 5 + 0,
5 1 −
A ⋅ c
k
a'
a
H
e b
b
b'
e a
b'
+ a'
2
sin ω
b'
a'
ib entfällt
λx: Neigungsbeiwerte: abhängig von Geländeneigung β < ϕk (quer zum Gründungskörper,λx =1 für β =0)
ϕ k> 0° und
ck ≥ 0 kN/m 2 ,
β ≤ ϕ k
ϕ k = 0° und
ck > 0 kN/m 2
λb = (1 - 0,5 tan β) 6
λd = (1 - tan β) 1,9
λc =
N
d 0
⋅ e
d 0
λc = 1 - 0,4 tan β
λd = (1 - tan β) 1,9
−0,
0349⋅β
⋅tanϕ
k
N
−1
λb entfällt wegen Nb = Nb0 = tan(ϕ k) = 0
ξx: Neigungsbeiwerte: abhängig von der Sohlflächenneigung α (positiv bei in Verschiebungsrichtung
ansteigender Sohle, ξx =1 für α =0)
ϕ k> 0° und
ck ≥ 0 kN/m 2
ϕ k = 0° und
ck > 0 kN/m 2
ξb = ξd = ξc =
e
−0,
045⋅α
⋅tanϕ
−1
ξd = 1,0
ξc = 1 - 0,0068 α
ξb entfällt wegen Nb = Nb0 = tan(ϕk) = 0
k

13. Gleiten und Grundbruch SS 2011
Formelsammlung Bodenmechanik I 23