1. Wahrscheinlichkeit – Baumdiagramm – ohne Zuru cklegen ...

1. Wahrscheinlichkeit – Baumdiagramm – ohne Zuru cklegen
Produkt- und Summenregel - Lösung
In einem Kasten befinden sich 14 beschriftete gleichgroße Würfel. Beschriftet sind die Würfel mit den
Ziffern 1 oder 2. Andere Ziffern kommen nicht vor.
a) Bestimme die Anzahl der Würfel, die mit der Ziffer 1 bzw. der Ziffer 2 beschriftet sind.
b) Es wird ohne Zurücklegen gezogen und zwar zweimal hintereinander. Zeichne ein Baumdiagramm, und
berechne die Wahrscheinlichkeiten aller Ergebnisse.
c) Berechne die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis, dass zweimal die Ziffer 2 gezogen wird.
d) Berechne die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis, dass zweimal die Ziffer 1 gezogen wird.
e) Berechne die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis, dass wenigstens einmal die Ziffer 2 gezogen wird.
f) Berechne die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis, dass genau einmal die Ziffer 1 gezogen wird.
g) Jetzt wird dreimal gezogen. Berechne die Wahrscheinlichkeit für die Ziffernfolgen 2,1,2.
Zeichne, wenn nötig ein neues Baumdiagramm oder nur den erforderlichen Pfad.
1
2
1 1
2
1
1
2
1
1
1
2
2
1
a) 9-mal die Ziffer 1 und 5-mal die Ziffer 2 .
b)
1 2
Kasten mit 1 -en und 2 -en
9 / 14
5 / 14 1. Zug
1 2
8 / 13
5 / 13 9 / 13
4 / 13 2. Zug
1 2 1 2
Ergebnisse: 1,1 1,2 2,1 2,2 (4 Ergebnisse)
Die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ergebnisse werden mit der Produktregel berechnet. Dazu
multiplizierte man die Wahrscheinlichkeiten „entlang“ des Pfades.
Produktregel
1,1 :
9 / 14 · 8 / 13 = 72 / 182 = 36 / 91 = 0,395604….. = 39,56 %
1,2 :
9 / 14 · 5 / 13 = 45 / 182 = --- = 0,247252….. = 24,73 %
2,1 :
2,2 :
5 / 14 · 9 / 13 = 45 / 182 = --- = 0,247252….. = 24,73 %
5 / 14 · 4 / 13 = 20 / 182 = 10 / 91 = 0,109890….. = 10,99 %
= 182 / 182 = 1 = 100,01 % (Da aufgerundet wurde!)
Die Einzelwahrscheinlichkeiten ergeben zusammen 1 bzw. 100 %!

c) Es heißt: „... zweimal die Ziffer 2 ...“. Die Lösung kann aus dem Aufgabenteil b) übernommen
werden. Die Summenregel findet keine Anwendung. Es gibt nichts zu addieren!
2,2 :
5 / 14 · 4 / 13 = 20 / 182 = 10 / 91 = 0,109890….. = 10,99 %
Die Wahrscheinlichkeit, „zweimal die Ziffer 2“ zu ziehen, beträgt 10,99 %.
d) Es heißt: „... zweimal die Ziffer 1 …“. Die Lösung kann aus dem Aufgabenteil b) übernommen
werden. Die Summenregel findet wieder keine Anwendung. Es gibt wieder nichts zu addieren!
1,1 :
9 / 14 · 8 / 13 = 72 / 182 = 36 / 91 = 0,395604….. = 39,56 %
Die Wahrscheinlichkeit, „zweimal die Ziffer 1“ zu ziehen, beträgt 39,56 %.
e) Die Lösung wird mit den Ergebnissen des Aufgabenteils b) berechnet. Die
Einzelwahrscheinlichkeiten aus b) werden addiert. Summenregel!
Es heißt: „… wenigstens einmal die Ziffer 2 …“. Das kann also auch zweimal die Ziffer 2 sein. Nur
nicht zweimal die Ziffer 1, dann ist keine Ziffer 2 dabei.
1,2 :
2,1 :
2,2 :
9 / 14 · 5 / 13 = 45 / 182
5 / 14 · 9 / 13 = 45 / 182 + = 110 / 182 = 55 / 91 = 0,604395 … = 60,44 %
5 / 14 · 4 / 13 = 20 / 182
Die Wahrscheinlichkeit, „wenigstens einmal die Ziffer 2“ zu ziehen, beträgt 60,44 %.
f) Wie e)! Anwendung der Summenregel.
Es heißt: „… genau einmal die Ziffer 1 …“. Zweimal die Ziffer 1 geht also nicht, das ist nicht genau
einmal. Zweimal die Ziffer 2 geht schon gar nicht. Dann fehlt die Ziffer 1.
1,2 :
2,1 :
9 / 14 · 5 / 13 = 45 / 182
5 / 14 · 9 / 13 = 45 / 182 + = 90 / 182 = 45 / 91 = 0,494505 … = 49,45 %
g) Gezogen werden die Ziffern 2,1,2 und nur diese. Es gilt „ohne Zurücklegen“. Es wird die
Produktregel angewendet.
Start
1 2
5 / 14 1. Zug
1 2
9 / 13 2. Zug
1 2 1 2
4 / 12 3. Zug
1
2
5 / 9 14 / 4 13 / 12
2
1 2
2,1,2 = 5 / 14 · 9 / 13 · 4 / 12 = 180 / 2184 = 15 / 182 = 0,082417… = 8,241 %
9 / 14
1
Die Wahrscheinlichkeit, dass die Zifferreihenfolge 2,1,2 gezogen wird, beträgt 8,24 %.

2. Wahrscheinlichkeit – Baumdiagramm – mit Zuru cklegen
Produkt- und Summenregel - Lösung
In einem Kasten befinden sich 14 beschriftete gleichgroße Würfel. Beschriftet sind die Würfel mit den
Ziffern 1 oder 2. Andere Ziffern kommen nicht vor.
a) Bestimme die Anzahl der Würfel, die mit der Ziffer 1 bzw. der Ziffer 2 beschriftet sind.
b) Es wird mit Zurücklegen gezogen und zwar zweimal hintereinander. Zeichne ein Baumdiagramm, und
berechne die Wahrscheinlichkeiten aller Ergebnisse.
c) Berechne die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis, dass zweimal die Ziffer 2 gezogen wird.
d) Berechne die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis, dass zweimal die Ziffer 1 gezogen wird.
e) Berechne die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis, dass wenigstens einmal die Ziffer 2 gezogen wird.
f) Berechne die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis, dass genau einmal die Ziffer 1 gezogen wird.
g) Jetzt wird dreimal gezogen. Berechne die Wahrscheinlichkeit für die Ziffernfolgen 2,1,2.
Zeichne, wenn nötig ein neues Baumdiagramm oder nur den erforderlichen Pfad.
1
2
1 1
2
1
1
2
1
1
1
2
2
1
a) 9-mal die Ziffer 1 und 5-mal die Ziffer 2 .
b)
1 2
Kasten mit 1 -en und 2 -en
9 / 14
5 / 14 1. Zug
1 2
9 / 14
5 / 14 9 / 14
5 / 14 2. Zug
1 2 1 2
Ergebnisse: 1,1 1,2 2,1 2,2 (4 Ergebnisse)
Die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ergebnisse werden mit der Produktregel berechnet. Dazu
multiplizierte man die Wahrscheinlichkeiten „entlang“ des Pfades.
Produktregel
1,1 :
9 / 14 · 9 / 14 = 81 / 196 = 0,413265….. = 41,33 %
1,2 :
9 / 14 · 5 / 14 = 45 / 196 = 0,229591….. = 22,96 %
2,1 :
5 / 14 · 9 / 14 = 45 / 196 = 0,229591….. = 22,96 %
2,2 :
5 / 14 · 5 / 14 = 25 / 196 = 0,127551….. = 12,76 %
= 196 / 196 = 1 = 100,01 % (Da aufgerundet wurde!)
Die Einzelwahrscheinlichkeiten ergeben zusammen 1 bzw. 100 %!

c) Es heißt: „... zweimal die Ziffer 2 ...“. Die Lösung kann aus dem Aufgabenteil b) übernommen
werden. Die Summenregel findet keine Anwendung. Es gibt nichts zu addieren!
2,2 :
5 / 14 · 5 / 14 = 25 / 196 = 0,127551….. = 12,76 %
Die Wahrscheinlichkeit, „zweimal die Ziffer 2“ zu ziehen, beträgt 10,99 %.
d) Es heißt: „... zweimal die Ziffer 1 …“. Die Lösung kann aus dem Aufgabenteil b) übernommen
werden. Die Summenregel findet wieder keine Anwendung. Es gibt wieder nichts zu addieren!
1,1 :
9 / 14 · 9 / 14 = 81 / 196 = 0,413265….. = 41,33 %
Die Wahrscheinlichkeit, „zweimal die Ziffer 1“ zu ziehen, beträgt 39,56 %.
e) Die Lösung wird mit den Ergebnissen des Aufgabenteils b) berechnet. Die
Einzelwahrscheinlichkeiten aus b) werden addiert. Summenregel!
Es heißt: „… wenigstens einmal die Ziffer 2 …“. Das kann also auch zweimal die Ziffer 2 sein. Nur
nicht zweimal die Ziffer 1, dann ist keine Ziffer 2 dabei.
1,2 :
2,1 :
2,2 :
9 / 14 · 5 / 14 = 45 / 196
5 / 14 · 9 / 14 = 45 / 196 + = 115 / 196 = 0,586734 … = 58,67 %
5 / 14 · 5 / 14 = 25 / 196
Die Wahrscheinlichkeit, „wenigstens einmal die Ziffer 2“ zu ziehen, beträgt 60,44 %.
f) Wie e)! Anwendung der Summenregel.
Es heißt: „… genau einmal die Ziffer 1 …“. Zweimal die Ziffer 1 geht also nicht, das ist nicht genau
einmal. Zweimal die Ziffer 2 geht schon gar nicht. Dann fehlt die Ziffer 1.
1,2 :
2,1 :
9 / 14 · 5 / 14 = 45 / 196
5 / 14 · 9 / 14 = 45 / 196 + = 90 / 196 = 45 / 98 = 0,459183 … = 45,92 %
g) Gezogen werden die Ziffern 1,2,2 und nur diese. Es gilt „mit Zurücklegen“. Es wird die Produktregel
angewendet.
Start
1 2
5 / 14 1. Zug
1 2
9 / 14 2. Zug
1 2 1 2
5 / 14 3. Zug
1 2
5 / 9 14 / 5 14 / 14
2
1 2
2,1,2 = 5 / 14 · 9 / 14 · 5 / 14 = 225 / 2744 = 0,081997… = 8,199 %
9 / 14
1
Die Wahrscheinlichkeit, dass die Zifferreihenfolge 2,1,2 gezogen wird, beträgt 8,2 %.