5. PLANIMETRIE, STEREOMETRIE - Mathe Online

Planimetrie, StereometrieStrecke: Die Verbindung zweier Punkte A, B nennt man Strecke. DieLänge der Strecke bezeichnet man mit AB .Mittelpunkt: Der Mittelpunkt einer Strecke AB ist jener Punkt, der aufder Strecke AB liegt und von A gleich weit entfernt ist wie von B.Streckensymmetrale: Die Streckensymmetrale ist die Menge allerPunkte, die von zwei Punkten A, B jeweils gleichen Abstand haben.Senkrechte (Normale): Eine Senkrechte ist eine Gerade n, die eineGerade g im rechten Winkel (90°) schneidet. Auch die Streckensymmetralesteht normal auf AB.Symbolisch: n ⊥ gWinkel: Zwei Strecken SA und SB, die von einem gemeinsamen Punkt Sausgehen, schließen miteinander einen Winkel α =

Planimetrie, StereometrieWinkelsymmetrale: Die Winkelsymmetrale ist die Menge aller Punkte,die von zwei Geraden jeweils gleichen Abstand haben.Strahlensatz - Teilung einer Strecke1. Strahlensatz: Werden zwei von einem Punkt ausgehende Strahlen vonparallelen Geraden geschnitten, so sind die Verhältnisse entsprechenderStrecken auf den Strahlen gleich.Auf die Abbildung bezogen heißt das: SA : SA = SB : SB1 2 1 22. Strahlensatz: Werden zwei von einem Punkt ausgehende Strahlen vonparallelen Geraden geschnitten, so verhalten sich die Abschnitte auf denParalleln wie die entsprechenden Strahlenabschnitte.Auf die Abbildung bezogen heißt das: SA : SA = A B : A B1 2 1 1 2 2Diese zwei Sätze kann man nützen, wenn man eine Strecke in einembestimmten Verhältnis teilen will.Innere Teilung: Eine Strecke AB ist im Verhältnis m : n innen zu teilen. Aufeinem weiteren Strahl durch A werden von A aus m gleiche Strecken bis Dund n weitere gleiche Strecken von D bis E abgetragen. Zieht man eineParallele durch D zur Geraden BE, so schneidet diese Parallele dieStrecke AB im Punkt C. Es gilt dann laut Strahlensatz AC: CB = m:n .Äußere Teilung: Eine Strecke AB ist im Verhältnis m:n außen zu teilen.Auf einem weiteren Strahl durch A werden von A aus m−n gleicheStrecken bis D und n gleiche Strecken von D bis E abgetragen. Zieht maneine Parallele durch E zur Geraden BD, so schneidet diese Parallele dieVerlängerung der Strecke AB im Punkt C. Es gilt dann laut StrahlensatzAC: BC = m:n .- 160 -

Planimetrie, Stereometriespitzwinkliges Dreieck: α < 90°, β < 90°, γ < 90°rechtwinkliges Dreieck:a, b ... Katheten, c ... Hypotenusep, q ... Hypotenusenabschnitteα < 90°, β < 90°, γ = 90°stumpfwinkliges Dreieck: α < 90°, β < 90°, 90° < γ < 180°In allen angeführten Dreiecken gibt es folgende besondere Linien und Punkte:Höhen, Höhenschnittpunkt: Die Linie, die normal auf eine Seite eines Dreiecks steht und durch dennicht auf dieser Seite liegenden Eckpunkt geht, nennt man die Höhe auf diese Seite (h a , h b , h c ). Die Höheneines Dreiecks schneiden einander im Höhenschnittpunkt H.Seitensymmetrale, Umkreismittelpunkt: Errichtet man auf allen Seiten die Streckensymmetrale(Seitensymmetrale), so schneiden diese Symmetralen einander in einem Punkt. Da dieser Punkt aufgrundder Konstruktion von allen Eckpunkten gleiche Entfernung hat, ist dies der Umkreismittelpunkt U.Schwerelinien, Schwerpunkt: Die Verbindungslinie zwischen dem Mittelpunkt einer Dreiecksseiteund dem nicht auf dieser Seite liegenden Eckpunkt nennt man Schwerelinie. Die Schwerelinien schneideneinander im sogenannten Schwerpunkt S. Dieser Punkt teilt jede Schwerelinie im Verhältnis 2:1.Winkelsymmetralen, Inkreismittelpunkt: Die Winkelsymmetralen zwischen jeweils zwei Schenkeleines Dreiecks schneiden einander in einem Punkt. Da dieser Punkt aufgrund der Konstruktion von allenDreiecksseiten gleiche Entfernung hat, ist dies der Inkreismittelpunkt I.Der Höhenschnittpunkt, der Umkreismittelpunkt und der Schwerpunkt liegen in jedem Dreieck auf einerGeraden, der sogenannten Eulerschen Geraden. Der Schwerpunkt und der Inkreismittelpunkt liegen stetsinnerhalb des Dreiecks; der Höhenschnittpunkt und der Umkreismittelpunkt liegen beim spitzwinkligenDreieck innerhalb, beim stumpfwinkligen Dreieck jedoch außerhalb des Dreiecks.- 162 -

Planimetrie, StereometrieDreiecksberechnungen2 2 2a + b = cSatzgruppe des Pythagoras für rechtwinklige Dreiecke:In jedem rechtwinkligen Dreieck ist die Summe der Flächeninhalte derQuadrate über den Katheten gleich dem Flächeninhalt des Quadrats überder Hypotenuse (Pythagoräischer Lehrsatz).a2 = c⋅pb2 = c⋅qIn jedem rechtwinkligen Dreieck ist der Flächeninhalt des Quadrats übereiner Kathete gleich dem Flächenihalt des Rechtecks aus der Hypotenuseund dem der Kathete anliegenden Hypotenusenabschnitts (Kathetensatz).h2 = p⋅qIn jedem rechtwinkligen Dreieck ist der Flächeninhalt des Quadrats überder Höhe gleich dem Flächeninhalt des Rechtecks aus den beidenHypotenusenabschnitten (Höhensatz).Berechnung des ungleichseitigen Dreiecks:U a+ b+cU= a+ b+ c, s = =2 2A a h a b h b c h c= ⋅ = ⋅ = ⋅2 2 2Heronsche Flächenformel: A = s( s−a)( s−b)( s−c)Berechnung des gleichschenkligen Dreiecks:2 cU= 2 a+c, hc = a − ⎛ ⎝ ⎜ ⎞⎟2⎠2A c h c c c= ⋅ 2= ⋅ a − ⎛ ⎝ ⎜ ⎞⎟2 2 2⎠2Berechnung des gleichseitigen Dreiecks:22 a aU= 3 a, h= a − ⎛ ⎝ ⎜ ⎞2⎠⎟ = 2 3 A = a⋅ h =a2 423Berechnung des rechtwinkligen Dreiecks:2 2 2 2U= a+ b+ c, c = p+ q, h= a − p = b −qA = a⋅ b = c⋅h2 2- 163 -

Planimetrie, StereometrieÄhnliche Dreiecke - Kongruente DreieckeDreiecke sind ähnlich, wenn sie allen Winkeln übereinstimmen.Ähnliche Dreiecke haben also gleiche Form, sie unterscheiden sich nur durch ihre Größe und Lage.Ähnliche Dreicke können also so zueinander zum Liegen gebracht werden, daß entsprechende Seitenzueinander parallel sind. Zwischen ähnlichen Dreiecken gilt daher der Strahlensatz.Dreiecke sind kongruent, wenn sie in allen Bestimmungsstücken übereinstimmen.Kongruente Dreiecke haben also die gleiche Form und Größe, sie unterscheiden sich nur durch ihre Lage.(c)Viereckeallgemeines Viereck:Die Summe der Innenwinkel beträgt 360°: α + β + γ + δ = 360°Jede Diagonale (e, f) teilt das Viereck in zwei Dreiecke.Einteilung und Berechnung der ViereckeRechteck:α = β = γ = δ = 90°, a ⊥ bU= 2a+ 2b = 2( a+b) A = a⋅b2 2 2d = a + bd = a + b2 2Quadrat:α = β = γ = δ = 90°, a ⊥ aU= 4 aA = a⋅ a = a22 2 2 2d = a + a = 2ad = a⋅ 2- 164 -

Planimetrie, StereometrieParallelogramm: α = γ, β = δ, α + β = γ + δ = 180°U= 2a+ 2b = 2( a+b) A = a⋅ h = b⋅habRhombus (Raute):α = γ, β = δ, α + β = γ + δ = 180°, e ⊥ f2 2 2U= 4 a, e + f = 4aA = e⋅ f2Trapez:U= a+ b+ c+ d, m a +=c2A = m⋅ h=a ║ c, a║ m( a+ c)⋅h2Deltoid (Drachenviereck):α ≠ γ, β = δ, e ⊥ fU= 2a+ 2b = 2( a+b) A = e⋅ f2(d)Vielecke (Polygone)Allgemeines Vieleck:n ... Anzahl der SeitenEs gibt n⋅(n−3)Diagonalen; das Vieleck läßt sich durch die von einer2Ecke ausgehenden Diagonalen in (n − 2) Dreiecke zerlegen.Die Summe der Innenwinkel beträgt 180°⋅(n − 2).Regelmäßige Vielecke: Ein Vieleck heißt regelmäßig, wenn alle Seitengleich lang und alle Winkel gleich groß sind. Jedem regelmäßigen Vieleckläßt sich ein Kreis umschreiben und ein Kreis einschreiben. Jeder( n−2)Innenwinkel beträgt 180° ⋅ . Das gleichseitige Dreieck und das2Quadrat sind regelmäßige Vielecke.- 165 -

Planimetrie, Stereometrie(e)Kreis, KreisteileEin Kreis k ist die Menge aller Punkte der Ebene, die von einem Punkt M,(Mittelpunkt) den gleichen Abstand r (Radius) haben: k = { X ∈ ε | XM=r}Die Verbindung zweier Punkte des Kreises durch eine Strecke bezeichnetman als Sehne s. Verläuft diese Sehne durch den Mittelpunkt M, so erhältman einen Durchmesser d des Kreises mit d = 2r. Die Verbindung zweierPunkte des Kreises entlang der Kreislinie bezeichnet man als Bogen.Die Fläche, die durch einen Bogen und zwei Radien des Kreises begrenztwird, nennt man Sektor oder Kreisausschnitt; die Fläche, die durch einenBogen und eine Sehne begrenzt wird, heißt Segment oder Kreisabschnitt.Der Winkel, der zwischen den Radien eines Sekors gemessen wird, ist dersogenannte Zentriwinkel. Der Winkel, unter dem man eine Sehne (bzw.einen Bogen) von einem Punkt des Kreises sieht, ist der Peripheriewinkel.Peripheriewinkel, die zu derselben Sehne (demselben Bogen) gehören,sind gleich groß: α 1 = α 2 . Der Zentriwinkel ist doppelt so groß wie derzugehörige Peripheriewinkel: β = 2α.Satz von ThalesJeder Peripheriewinkel über einem Kreisdurchmesser beträgt 90°.Kreis und GeradePassante: Die Passante hat mit dem Kreis keinen Punkt gemeinsam.Tangente: Die Tangente hat mit dem Kreis einen Punkt P (Berührungspunkt)gemeinsam. Jede Tangente steht normal auf den Berührradius.Sekante: Die Sekante schneidet den Kreis in zwei Punkten A, B (A≠B).- 166 -

Planimetrie, StereometrieKreisberechnungenKreis:Das Verhältnis des Umfanges eines Kreises zu seinem Durchmesser istkonstant und beträgt π = 3,14159265359...2 dU= 2⋅ r⋅ π = d⋅π A = r ⋅ π = ⋅π42Kreisbogen:rb = ⋅π⋅α180α ... Zentriwinkel im GradmaßKreissektor:rπαU= 2r+ b = 2r+180A = br ⋅ =r 2 πα2 360Kreissegment:U= s+ b, s= 2 h( 2r−h) A r πα= − s⋅h360 22Kreisring:R ... äußerer Radiusr ... innerer Radius2 2 2 2U= 2⋅ Rπ + 2⋅ rπ = 2π( R+r) A = R π− r π = π( R −r)- 167 -

Planimetrie, Stereometrie5.2. StereometrieStereometrie nennt man die elementare Geometrie des dreidimensionalen (reellen euklidischen) Raumes.Im folgenden Abschnitt werden die wichtigsten Körper und ihre Berechnung aufgeführt.(a)PyramidenEine Pyramide besitzt ein Polygon (n-Eck) als Grundfläche. Die Mantelfläche besteht aus n Dreiecken,welche in der Spitze S zusammenlaufen. Die Seiten der Grundfläche heißen Grundkanten, die Verbindungsstreckenzwischen Spitze und den Ecken der Grundfläche heißen Seitenkanten. Der Normalabstandzwischen Spitze und Grundfläche ist die Höhe h. Eine Pyramide heißt gerade, wenn der Fußpunktder Höhe im Mittelpunkt der Grundfläche liegt, andernfalls ist sie schief. Eine regelmäßige Pyramide ist einegerade Pyramide, deren Grundfläche ein regelmäßiges n-Eck ist.Die Oberfläche einer Pyramide ist die Summe der Flächeninhalte der Grundfläche und derMantelfläche:O = G + MFür das Volumen einer Pyramide gilt immer die Formel:1V = ⋅G⋅h3Quadratische Pyramide:2aha = +h42Die Grundfläche ist ein Quadrat.2a 2 as = + ha= + h4 222a⋅hO= G+ M= a + 4⋅22 a 21 2= a + 2 ahaV = ⋅a ⋅h3Regelmäßiges Tetraeder:h1aa= ⋅ 3 , MC = 2 ⋅ h = ⋅ 3a1 h= a − MC = ⋅23 332 2 62a ⋅O = 4⋅432= a ⋅31 a ⋅V = ⋅3 42 33 a ⋅ 2⋅ h =12- 168 -

Planimetrie, StereometrieRegelmäßiges Oktaeder:h= a⋅22EF = 2h = a⋅22a ⋅O = 8⋅43= 2⋅ 3⋅a2a ⋅V = 2⋅ 1 2⋅a ⋅ h=3332Quadratischer Pyramidenstumpf:⎛ aMH = h, ha = h + ⎜⎝− a ⎞⎟2 ⎠2 1 22M= ( a + a ) ⋅ h2 1 2O= G1+ G2 + M= a1 2 + a2 2 1 22+ 2( a1+a2) hV = ⋅ ( a1+ a1a2+ a2)⋅h3(b)PrismenEin Prisma besitzt zwei in parallelen Ebenen gelegene kongruente n-Ecke als Grund- und Deckfläche. DieMantelfläche besteht aus n Parallelogrammen. Gemeinsame Strecken von zwei Teilflächen heißen Kanten.Die Seitenkanten sind parallel und gleich lang. Gemeinsame Punkte von je drei Teilflächen heißen Ecken.Der Normalabstand zwischen Grund- und Deckfläche ist die Höhe h. Ein Prisma heißt gerade, wenn alleSeitenkanten zur Grundfläche normal stehen, andernfalls ist es schief. Ein regelmäßiges Prisma ist eingerades Prisma, welches als Grundfläche ein regelmäßiges n-Eck besitzt.Die Oberfläche eines Prismas ist die Summe der Flächeninhalte von Grundfläche,Deckfläche und Mantelfläche:O = 2G + MFür das Volumen eines Prismas gilt immer die Formel:V = G ⋅ h- 169 -

Planimetrie, StereometrieQuader:2 2 2d = a + b + cO = 2( ab+ ac + bc) V = a⋅ b⋅cWürfel:d= a⋅ 3O= 6 ⋅ a2 V a= 3(c)KegelEin Kegel besitzt einen Kreis als Grundfläche. Die Mantelfläche ist eine einfach gekrümmte Fläche, da sichdie Kante eines Lineals nur in einer Richtung anlegen läßt, sodaß sie ganz in der Mantelfläche liegt. Dasangelegte Lineal berührt die Mantelfläche längs einer Mantellinie, einer sogenannten Erzeugenden s. DieMantellinien schneiden einander in der Spitze S des Kegels. Der Normalabstand zwischen Spitze undGrundfläche ist die Höhe h. Ein Kegel heißt gerade, wenn der Fußpunkt der Höhe im Mittelpunkt M derGrundfläche liegt, andernfalls ist er schief.Die Oberfläche eines Kegels ist die Summe der Flächeninhalte der Grundfläche undMantelfläche:O = G + MFür das Volumen eines Kegels gilt die Formel:1V = ⋅G⋅h3Die Verbindung des Mittelpunkts der Grundfläche mit der Spitze ist die Drehachse eines geraden Drehkegels.Ein Achsenschnitt liefert als Schnittfläche ein gleichschenkliges Dreieck. Die eben aufgerollteMantelfläche ergibt einen Kreisausschnitt (Sektor) mit der Erzeugenden s als Radius.- 170 -

Planimetrie, StereometrieDrehkegel:2 2 2s = r + hM= rπsO= G+ M= r 2 1π+ rπs= rπ( r+s) V = ⋅r 2 π h3Gleichseitiger Drehkegel:s = 2rh= r⋅ 3 M= 2r2 πO= 3r2 π V =r3π33Kegelstumpf:2s = ( r − r ) + hM= ( r + r ) s1 2 2 21 2 πO= G1+ G2 + M= r1 2 + r2 2 1 22π π+ ( r1+r2) πsV = ⋅ ( r1+ rr 12+r2)π h3(d)ZylinderEin Zylinder besitzt zwei flächengleiche Kreise als Grund- und Deckfläche. Die Mantelfläche ist eine einfachgekrümmte Fläche, da sich die Kante eines Lineals nur in einer Richtung anlegen läßt, sodaß sie ganz in derMantelfläche liegt. Das angelegte Lineal berührt die Mantelfläche längs einer Mantellinie, einer Erzeugendens. Die eben aufgerollte Mantelfläche ist ein Rechteck. Der Normalabstand zwischen Grund- und Deckflächeheißt Höhe h. Ein Zylinder heißt gerade, wenn alle Mantellinien zur Grundfläche normal stehen, andernfallsist er schief.Die Oberfläche eines Zylinders ist die Summe der Flächeninhalte von Grundfläche,Deckfläche und Mantelfläche:O = 2G + MFür das Volumen gilt die Formel:V = G ⋅ h- 171 -

Planimetrie, StereometrieDie Verbindung der Mittelpunkte der Grund- und Deckfläche ist die Drehachse eines geraden Drehzylinders.Ein Achsenschnitt liefert als Schnittfläche ein Rechteck.Drehzylinder:M= 2rπ h, O= 2r 2 π+ 2rπh= 2rπ( r+h) V = r 2 π hGleichseitiger Zylinder:h = 2rM= 4r2 π , O= 6r2 π V = 2r3 πHohlzylinder:R ... äußerer RadiusM= 2π( R+r)hr ... innerer Radius2 22 2O= 2π( R − r ) + 2π( R+ r) h= 2π( R+ r)( R− r+h) V = π( R −r ) h(e)Kugel, KugelteileEine Kugel entsteht, wenn ein Kreis um einen seiner Durchmesser gedreht wird. Alle Punkte der Kugeloberflächehaben vom Kugelmittelpunkt M den gleichen Abstand r (Kugelradius). Die Kugeloberfläche ist doppeltgekrümmt; sie kann nicht wie ein Zylinder- oder Kegelmantel in einer Ebene ausgebreitet werden.Kugel:3 3O= 4r 2 π = d24rπ d ππ V = =3 6- 172 -

Planimetrie, StereometrieKugelsektor (Kugelausschnitt): r = 2rh−hKugelkappe: A1 2 2= 2rπ hKegelmantel: M= r 1 π rr hO= A+ M= 2rπh+r1π rV = 2 32 πKugelsegment (Kugelabschnitt): r = 2rh−hKugelkappe: A1 2 2= 2rπ hGrundfläche: K = r2 1 πO= A+ K = rπh+r π V =2 1 222 2πh ( 3r−h) πh( 3r1+ h )=36Kugelschicht und Kugelzone:Kugelzone: A = 2rπh21 2 122O= G + G + A = r π+ r π+2rπ hV =22 3π h( 3r1+ 3r2+ h )6Hohlkugel:R ... äußerer RadiusO= 4R2 π V =r ... innerer Radius3 3 3 34π( R − r ) π( D − d )=3 6- 173 -